Ecuación combinatoria

    Se llama ecuaciones combinatorias a aquellas en las que la incógnita aparece formando parte de uno o más números combinatorios o afectada por el símbolo de variaciones, permutaciones o combinaciones. Por la naturaleza del problema, en estas ecuaciones sólo son válidas las soluciones naturales, es decir, las enteras y positivas.

    La técnica para resolverlas consiste en desarrollar los símbolos combinatorios que aparezcan, par de convertir la ecuación dada en otra algebraica. Esta ecuación algebraica se resolverá por los métodos habituales.

    En este tipo de problemas es conveniente recordar que:

    n! = n · (n – 1)!

    O bien:

    n! = n · (n –1) · (n-2)!

    Es decir, el factorial de un número puede escribirse tomándose los factores que se desee y multiplicando dichos factores por el factorial del factor siguiente al último tomado.

    Problema 1. Calcular m para que:

    Vm,2 + V(m-2),2 + V(m-4),2 = 98

    Solución. Aplicando la fórmula del cálculo de variaciones:

    m. (m – 1) + (m – 2) · (m – 3) + (m – 4) · (m – 5) = 98

    Operando:

    m2 – 5m – 24 = 0

    Esta ecuación, una vez resuelta, da las soluciones:

    m = 8 ; m = -3

    Según lo dicho, la solución del problema es m = 8

    Problema 2. El séxtuplo del número de combinaciones que se puede formar con m objetos, tomados de tres en tres, es igual al número de variaciones que se puede formar con m – 1 objetos, tomados de cuatro en cuatro. Hallar el valor de m.

    Solución. Según el enunciado:

    6 · Cm,3 = V(m-1),4

    Aplicando las fórmulas del cálculo de combinaciones y variaciones, respectivamente:

    Desarrollando los factoriales:

    Simplificando y operando:

    m2 – 8m + 12 = 0

    Resolviendo, se obtiene:

    m = 6 ; m = 2

    Según los datos del problema, la solución válida es m = 6, ya que debe ser m > 3.

    Problema 3. Resolver:

    Solución. Desarrollando los números combinatorios:

    Desarrollando los factoriales:

    Operando:

    4x2 – 3x – 126 = 0

    Resolviendo:

    x = 6 ; x = -

    Luego, la solución de la ecuación es x = 6.