Esperanza matemática

    Sea una variable aleatoria discreta xi cuyas correspondientes probabilidades son pi:

    Variable

    Probabilidad

    x1

    p1

    x2

    p2

    x3

    p3

    .....

    .....

    xn

    pn

    Se llama esperanza matemática de la variable xi a la suma siguiente:

    E(X) = x1 · p1 + x2 · p2 + x3 · p3 + ....+ xn . pn

    Expresándolo con el símbolo del sumatorio:

    E(X) =

    La esperanza matemática tiene las siguientes propiedades:

    1. La esperanza matemática de una constante es igual a dicha constante:

    E(k) = k

    1. Las constantes en producto o en cociente pueden salir fuera del símbolo de esperanza matemática:

    E(k · X) = k · E(x) ; E

    1. La esperanza matemática de la suma algebraica de dos o más variables es igual a la suma algebraica de las esperanzas de esas variables, lo que se expresa mediante:

    E(X

    1. La esperanza matemática del producto de dos o más variables aleatorias es igual al producto de las esperanzas matemáticas de las mismas:

    E(X · Y · ... Z) = E(X) · E(Y) · ... E(Z)

    1. La esperanza matemática de la desviación total de la variable respecto a dicha esperanza matemática es siempre nula:

    E

    1. La esperanza matemática del cuadrado de la desviación de la variable con respecto a su esperanza matemática es la varianza:

    = E

    El concepto de esperanza matemática tiene una importante aplicación en los juegos de azar, donde se define como el producto de la probabilidad de obtener un premio multiplicado por la magnitud de éste. Si la esperanza es positiva, el juego es favorable al jugador; cuando es negativa, es desfavorable al jugador; si es nula, el juego es equitativo.

    Es importante destacar que el concepto de esperanza matemática sólo tiene validez en el caso de un número muy grande de observaciones. Por ejemplo, en el juego hay que considerar un elevado número de apuestas. La esperanza matemática dará la media del resultado de todas ellas.

    Problema. En una baraja de francesa (52 naipes), un jugador extrae una carta. Si saca una figura (J, Q, K o as) paga 90 $ y si obtiene una cualquiera de las otras cartas, cobra 30 $. ¿Es equitativo el juego?

    Solución: La probabilidad de obtener una figura, P(f) es:

    P(f) = P(f) = 0,307

    La probabilidad de no obtener figura es, por otra parte:

    = 0,642

    Considerando las ganancias como positivas y las pérdidas como negativas, la esperanza matemática será:

    E(X) = (0,642) · 30 – (0,307) · 90

    Luego:

    E(X) = -8,37 $

    Así pues, si se juega un elevado número de veces, se registrará una pérdida media de 8,37 $.