Circunferencia

    La circunferencia es una línea cuyos puntos equidistan de uno interior, centro, una magnitud constante, llamada radio.

    P(x,y)

    Por tanto, si se considera una circunferencia de centro C(a, b) y radio r, su ecuación será:

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (1)

    A veces, la ecuación (1) se da desarrollada, en la forma:

    x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 (2)

    En tal caso, la determinación del centro y el radio es inmediata, teniendo en cuenta que:

    abscisa del centro = xc = (3)

    ordenada del centro = yc = (4)

    a2 + b2 – r2 = Término independiente (5)

    En general, para que una ecuación represente una circunferencia, debe suceder que:

    • Sea de segundo grado en x y en y

    • Los coeficientes de x2 e y2 deben ser iguales

    • Debe carecer de término en x · y.

    Problema 1. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:

    x2 + y2 – 6x + 8y = 0

    Solución. Aplicando (3), (4) y (5):

    xc = 3

    Además:

    32 + (-4)2 – r2 = 0 r = 5

    Por consiguiente, la ecuación dada representa una circunferencia de centro (3, -4) y radio 5.

    Trazado de tangentes y normales. La tangente y la normal (perpendicular a la tangente) a una circunferencia en un punto de la misma se determina teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada, que puede hallarse por derivación implícita.

    Problema 2. Hallar la tangente y la normal a x2 + y2 – 8x + 4y – 14 = 0 en P(1,3).

    Solución. El punto (1, 3) está en la circunferencia, ya que:

    (3)2 + (1)2 – 8 · (1) + 4 · (3) – 14 = 0

    n

    P (1, 3)

    t

    La ecuación de la tangente, t, al pasar por P(1, 3) será:

    y – 3 = m · (x – 1)

    Como m, pendiente de la tangente, viene dada por la derivada, hallemos ésta. Derivando implícitamente:

    2x + 2yy’ – 8 + 4y’ = 0 y’(4+2y) = 8 – 2x

    La pendiente será:

    Con lo que la tangente buscada es:

    y – 3 = (x – 1)

    Como la normal es perpendicular a la tangente, su pendiente será y su ecuación:

    y – 3 = (x – 1)

    Potencia de un punto con respecto a una circunferencia. Como se sabe por geometría métrica, la potencia de P con respecto a una circunferencia de centro O (a, b) y radio r, designando por d la distancia PO es:

    Pot = d2r2

    Para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia, basta con particularizar su ecuación para ese punto, cuando los términos de ella están en un miembro. Además, debe cuidarse de que los coeficientes de x2 y de y2 sean la unidad.

    Problema 3. Hallar la posición del punto P(3, 2) respecto a la circunferencia:

    3x2 + 3y2 – 6x + 9y = 0

    Solución. Dividiendo toda la ecuación por 3 a fin de que los coeficientes de x2 e y2 sean la unidad:

    x2 + y2 – 2x + 3y = 0

    Particularizando para P(3, 2):

    Pot = 32 + 22 – 2 · 3 + 3 · 2 Pot = 13 u2

    Luego el punto es exterior a la circunferencia, ya que, como:

    Pot > 0 d2 – r2 > 0 d > r

    Eje radical. Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia con respecto a las dos circunferencias. Para hallarlo, basta con restar las ecuaciones de ambas circunferencias, cuidando de que, previamente, los coeficientes de x2 e y2 en ambas sean iguales.

    Problema 4. Hallar el eje radical de las circunferencias:

    3x2 + 3y2 – 4x – 2y = 0

    2x2 + 2y2 – 6x – 6y – 2 = 0

    Multiplicando la primera por 2 y la segunda por 3 a fin de igualar los coeficientes de x2 e y2:

    6x2 + 6y2 – 8x – 4y = 0

    6x2 + 6y2 – 18 x – 18 y – 6 = 0

    Restando ambas ecuaciones:

    10x + 14 y + 6 = 0 5x + 7y + 3 = 0

    que es la ecuación del eje radical buscado.

    Centro radical de tres circunferencias. Es un punto que tiene igual potencia respecto a las tres circunferencias. Se obtiene hallando el eje radical de dos de ellas, el eje radical de otras dos y calculando la intersección de ambos.