Derivación logarítmica

    Se llama derivada logarítmica de una función a la derivada del logaritmo neperiano de dicha función. Por tanto, si se considera la función y = f(x), su derivada logarítmica es la derivada de la función:

    y = L f(x) (1)

    Se procede ahora a derivar en (1) teniendo en cuenta que y es función de función, ya que en su expresión aparece la función logaritmo neperiano y la función f(x). Teniendo en cuenta la tabla de derivadas:

    y’ = f’(x)

    Luego:

    y’ =

    De ello se concluye que la derivada logarítmica de una función es igual a la derivada de dicha función dividida por la propia función. Una aplicación notable de la derivada logarítmica es el hallazgo de la derivada de la función potencial exponencial.

    Una función potencial, por ejemplo y = xn, es la que tiene su variable independiente en la base de la potencia, mientras que una función exponencial, por ejemplo y = ax, es la que presenta la variable en el exponente.

    Se denomina función potencial exponencial la función que presenta simultáneamente la variable en la base y en el exponente. Por ejemplo, la función:

    y = (sen x)x

    sería una función de este tipo.

    Sea la función potencial exponencial:

    y = uv(2)

    lo que significa que u = f(x)y v = g(x). Tomando logaritmos neperianos en (2):

    L y = L uv L y = v · L u

    Derivando en esta última función, mediante la aplicación de la regla vista para la derivación logarítmica:

    v’ · (Lu) + v ·

    Quitando denominadores:

    y’ = y · v’ · (Lu) + y · v · (3)

    Como y = uv, sustituyendo este valor en (3):

    y’ = uv · v’ (Lu) + uv· v ·

    Es decir:

    y’ = uv · v’ · Lu + uv-1· u’ · v

    Lo que dice que para derivar una función potencial exponencial se la deriva primero como si fuera potencial, luego como si fuera exponencial y se suman ambos resultados.

    Problema. Derivar y = (sen x)cosx.

    Solución. Aplicando lo dicho, la derivada como función potencial de la función problema es:

    (cos x) · (sen x)cos x – 1 · cos x = cos2 x · (sen x)(cos x) – 1

    Como exponencial:

    (sen x)cosx · (- sen x) ·L sen x = - (sen x)1+cos x · L sen x

    Sumando ambos resultados, la derivada buscada es:

    y’ = (sen x)(cos x) – 1 · cos2 x – (sen x)1+ cos x · L sen x