Desarrollo de Taylor

    Un problema de gran importancia en análisis matemático es el de la aproximación local de una función, cuestión de la que vamos a dar una idea. A veces, se precisa conocer la variación de una función en un intervalo, lo que, frecuentemente, no resulta sencillo.

    Para solventar esta dificultad, se suele recurrir a otra función que sea bien conocida y que se aproxime lo más posible a la considerada en el entorno de un cierto punto. Lógicamente, esa aproximación debe ser notable para no cometer errores importantes.

    En general, dadas f(x) y g(x), definidas ambas en un intervalo [a, b], se dice que la segunda es una aproximación local de orden n a la primera, en un punto x = c, perteneciente al mencionado intervalo, cuando:

    La aproximación local utilizando funciones polinómicas (por otra parte, las más sencillas) puede hacerse mediante los polinomios de Taylor. Si se considera una función f(x), definida en un intervalo (a, b), derivable n – 1 veces en dicho intervalo, y con derivada n-ésima en un punto c, perteneciente al intervalo, un polinomio de grado n que constituye una aproximación a f(x) es:

    Este polinomio, que es único, constituye una aproximación de orden n a f(x) en x = c. Realmente:

    f(x) = P(x) + R(x)

    siendo:

    La función R(x) se denomina resto de la fórmula de Taylor y, al ser R(x) = f(x) – P(x)

    su valor permite determinar el error que se comete en un punto x = c, cuando se sustituye P(c) por f(c).

    Si f(x) posee derivada de orden n + 1, para cada punto x = del entorno (c, x):

    R(x) =

    La particularización de la fórmula de Taylor para el punto x = 0, es conocida como fórmula de Maclaurin y su expresión es:

    donde se cumple que:

    Problema. Hallar el desarrollo de Maclaurin para la función y = ex.

    Solución. Primero se determinan las derivadas de y = ex particularizadas para x = 0:

    f’(x) = ex f’(0) = 1; f”(x) = ex f”(0) = 1; f”’(x) = ex f”’(0) = 1

    Así pues: