Función logarítmica y exponencial

    Función exponencial. La función exponencial es aquella que tiene la variable independiente en el exponente de una expresión matemática. Se denota genéricamente como:

    y = ax

    Para su estudio analítico se considerarán dos casos: a > 1 y 1> a > 0

    Caso a > 1

    En este caso, para todo valor de x existe valor de y, luego el dominio de la función es todo el eje real. Es decir:

    Su patrón de crecimiento se obtendrá del estudio de su derivada, que es:

    y’ = ax · La

    Si a > 1, entonces La > 0, luego:

    y’ > 0

    y la función será creciente.

    La intersección con el eje OY de la gráfica de la función se logrará haciendo x = 0, lo que conduce a:

    x = 0 y = a0 y = 1

    Luego, la gráfica corta a OY en el punto (0, 1)

    La intersección con OX se logrará haciendo y = 0:

    x = 0 ax = 0 x = -

    lo que significa que la gráfica tiene a OX como asíntota. Además, la función es continua.

    Caso 1 > a > 0.

    Al igual que antes, el dominio de la función es todo el eje real, es decir:

    La intersección con el eje OY también se verifica en (0, 1) y, análogamente el eje OX es asíntota de esta función. Además, la función es continua, pero en este caso decreciente.

    Resumiendo, cualquiera que sea el valor de a, en la función y = ax

    1. La gráfica de la función pasa por (0, 1).

    2. La gráfica pasa por (1, a).

    3. Para cualquier valor de x, f(x) es positiva, lo que significa que la gráfica se mantiene siempre por encima de OX.

    4. Es siempre continua.

    Si a > 1, además de todo lo anterior:

    • La función es creciente.

    • Al ir tomando x valores negativos cada vez menores, y .

    Si a < 1, además de las propiedades generales:

    • La función es decreciente.

    • Al ir tomando x valores positivos cada vez mayores, y .

    Función logarítmica. Recibe este nombre la función inversa de la función exponencial, ya que:

    y = ax x = lga x

    Cambiando x por y e y por x:

    y = lgax

    En consecuencia:

    1. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a y = x, bisectriz del primer y tercer cuadrante.

    2. El dominio de la función es (0, ), lo que implica que los números negativos no tienen logaritmo real.

    3. La función logaritmo es creciente si a > 1 y decreciente si a < 1.

    4. Es siempre continua.

    5. Si x > 1, su logaritmo es positivo. Si x < 1, su logaritmo es negativo.

    6. Como:

    lga 1 = 0

    la gráfica pasa siempre por (1, 0)

    1. Como:

    lgaa = 1

    la gráfica pasa siempre por (a, 1).