Indeterminación 00

    La indeterminación 00 se plantea al hallar el límite siguiente:

    cuando:

    Seguidamente se expone el método para resolver esta indeterminación. Llamando A al resultado del límite:

    Tomando logaritmos neperianos en esta igualdad:

    Esta indeterminación puede escribirse en la forma:

    (1)

    A su vez, esta nueva indeterminación puede ser resuelta por aplicación de la regla de L`Hôpital, que dice que cuando al hallar el límite de un cociente se obtenga la indeterminación o , ese límite es igual al límite de la derivada del numerador dividido por la derivada del denominador). De esta manera, si el límite es de valor k, de (1), se tendría que:

    L A = k A = ek

    lo que permite hallar A y, en consecuencia, el límite buscado.

    En resumen, para resolver esta indeterminación se aplica la siguiente regla:

    1. Se supone conocido el valor del límite, designándole, por ejemplo por A, con lo que se establece una igualdad.

    2. Se toma en los dos miembros de la igualdad anterior logaritmos neperianos, con lo que la indeterminación dada, 00, se convierte en 0 · .

    3. Multiplicando el primer factor por el inverso del segundo, se logra convertir la indeterminación 0 · en .

    4. Se resuelve la indeterminación ahora planteada, mediante la aplicación de la regla de L’Hôpital, la cual afirma que cuando al hallar el límite de un cociente se plantee la indeterminación o , ambas pueden ser resueltas teniendo en cuenta que el límite dado es igual al límite de la derivada del numerador dividido por la derivada del denominador.

    5. De esta manera, se halla L A. Despejando A, se obtiene el límite deseado.

    Problema. Hallar:

    Solución. Sustituyendo la tendencia de x:

    = 00

    Actuando del modo descrito:

    Tomando logaritmos neperianos en esta igualdad:

    Este último límite puede expresarse en la forma:

    Aplicando la regla de l’Hôpital, apropiada, como se ha dicho, para la indeterminación :

    Aplicando nuevamente la regla de L`Hôpital, ya que la indeterminación también puede resolverse con ella:

    Luego:

    L A = 0 A = e0 A = 1

    En consecuencia: