Cónicas

    Conocidas ya en el mundo griego clásico, se llama cónicas a unas curvas planas obtenidas por la intersección de un plano con un cono. Existen tres clases de estas curvas: elipse, hipérbola y parábola.

    La elipse se obtiene al cortar un cono por un plano que no sea paralelo al plano de su base.

    Geométricamente, se define como el lugar geométrico de los puntos, cuya suma de distancia a dos fijos, llamados focos (F y F’), es una cantidad constante, que se suele designar por 2a.

    La elipse es una figura que posee dos ejes de simetría, vertical y horizontal, de distinto tamaño. Tomado un punto P cualquiera de ella, se verifica que:

    PF + PF’ = 2 a

    Tomando sus propios ejes como ejes coordenados cartesianos, la ecuación de la elipse es la siguiente:

    En ella, a es el semieje mayor y b el semieje menor. Los focos tienen por coordenadas (c, 0) y (-c, 0), y se verifica que:

    c2 = a2 – b2

    Otro parámetro importante de la elipse es su excentricidad, que da idea del “achatamiento” de la curva y que se expresa por:

    E =

    La superficie encerrada por una elipse viene dada por la fórmula:

    S = · a · b

    La elipse tiene una gran importancia en astronomía, ya que, según la primera ley de Kepler, es la curva que describen los planetas, con el Sol en uno de sus focos.

    Por su parte, la hipérbola se obtiene cortando una superficie cónica por un plano paralelo a su eje.

    En geometría, se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos fijos, llamados focos (F y F’) es una constante, que se suele designar por 2a.

    Así pues, si P es un punto genérico de la hipérbola, se cumple que:

    PF – PF’ = 2a

    Tomando como eje de abscisas la recta que une los focos y como eje de ordenadas la perpendicular en el punto medio de éstos, la ecuación de la hipérbola es:

    La hipérbola tiene un eje real, de longitud 2a, y un eje imaginario, de longitud 2b. Por otra parte, se trata de una curva con asíntotas (rectas tangentes a la curva en el infinito), cuyas ecuaciones son:

    y = ; y = -

    Además, en toda hipérbola se cumple que:

    c2 = a2 + b2

    Cuando en una hipérbola los dos ejes son iguales (a = b), se llama equilátera. Su ecuación es:

    x2 – y2 = a2

    Como es fácilmente comprobable, en una hipérbola equilátera las dos asíntotas son perpendiculares. Si se toman éstas como ejes coordenados, la ecuación de la hipérbola se escribiría como:

    xy = k

    La hipérbola así expresada es la grafica de la función de proporcionalidad inversa, frecuente en muchas leyes matemáticas y físicas como, por ejemplo, la ley de Boyle-Mariotte.

    Finalmente, la parábola se obtiene por la intersección de un cono con plano que corta a la base del mismo.

    Se define formalmente como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo o foco (F) y una recta, llamada directriz (d). Tomando como eje de abscisas la tangente a la parábola en su vértice y como eje de ordenadas su propio eje de simetría, la ecuación de la parábola es:

    y = ax2

    Si el eje de simetría se toma como eje de abscisas, la ecuación es:

    y2 = 2px

    Además de su interés matemático, la parábola aparece en física, por ejemplo, cuando se estudia el tiro de proyectiles.