Ecuación trigonométrica

    Se denominan ecuaciones trigonométricas aquellas en las que la incógnita figura afectada por alguna razón trigonométrica. En general, se resuelven logrando que en la ecuación sólo figure una misma razón, con lo que, tomando a ésta como incógnita, se puede aplicar las normas generales del álgebra. Debe ponerse especial cuidado, dada la periodicidad de las razones, para aportar todas las soluciones del problema.

    Problema 1. Resolver:

    cos 2x = 5 – 6 cos2 x

    Solución. Como el valor del ángulo doble viene dado por:

    cos 2x = cos2 x – sen2 x

    sustituyendo esta expresión en la ecuación dada:

    cos2 x – sen2 x = 5 – 6 cos2 x

    Y como:

    sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1 – cos2 x

    se tendrá que:

    cos2 x – (1 – cos2 x) = 5 – 6 cos2 x 8 cos2 x = 6

    Resolviendo, se obtienen las dos soluciones:

    cos x = ; cos x =

    Si cos x = x = o bien x =

    Si cos x = x = o bien x =

    Problema 2. Calcular tg x, sabiendo que:

    4 sen 2x + 3 cos 2x = 3

    Solución. Como:

    sen x = ; cos x = (1)

    Y además:

    sen 2x = 2·sen x · cos x ; cos 2x = cos2 x – sen2 x

    la ecuación dada puede escribirse como:

    8 sen x · cos x + 3 cos2 x – 3 sen2 x = 3

    Expresando sen x y cos x en función de tg x, mediante las igualdades (1):

    Operando:

    6 tg2x – 8 tg x = 0 tg x (6 tg x – 8) = 0

    lo que conduce a las soluciones:

    tg x = 0 ; 6 tg x – 8 = 0 tg x =

    Problema 3. Resolver la ecuación:

    sen x · tg = cos x

    Solución. Expresando sen x y cos x en función de :

    2 sen · cos · = 2 cos2 -1

    Simplificando y teniendo en cuenta que:

    sen2 + cos2 = 1

    se tiene que:

    4 sen2 = 1 sen

    Si sen , entonces:

    x = o bien x =

    Si sen , se cumple que:

    x = o bien x =