Ecuación vectorial y paramétrica de la recta

    Una forma muy interesante de definir una recta es mediante un vector de posición de los puntos de la misma. Esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial.

    P(x,y)

    A(x1, y1)

    r

    O

    Sea una recta, r, y considérese sobre ella un punto concreto de la misma, A(x1, y1), un punto genérico, P(x,y) y un vector, , situado también sobre dicha recta. La definición de la suma de vectores nos permite escribir que:

    (1)

    Como los vectores y tienen igual dirección, diferenciándose sólo en el módulo, podemos expresar que:

    siendo t un escalar. Sustituyendo en (1):

    (2)

    que es la ecuación vectorial de la recta r. Mediante ella, al ir variando t se puede determinar cualquier punto de la recta en función de un punto fijo de la misma, A(x1,y1) y un vector situado sobre la recta (el ), que recibe el nombre de vector director.

    Según la figura:

    ;

    Designando por vx y vy las componentes del vector , se cumplirá que:

    con lo que (2) puede escribirse como:

    Expresando la igualdad entre componentes de ambos miembros:

    x = x1 + t·vx

    y = y1+ t·vy

    que son las ecuaciones paramétricas de la recta r.

    Problema. Hallar las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por A(2,1) y que tiene como vector director (5,2). ¿Qué punto de dicha recta se obtendrá cuando el parámetro tome el valor 1?

    Solución. Según lo visto, las ecuaciones paramétricas buscadas son:

    x = 2 + 5t

    y = 1 + 2t

    Para t = 1, se obtiene:

    x = 2 + 5 · 1 x = 7

    y = 1 + 2 · 1 y = 3

    Es decir, el punto es P(7, 3).