Problemas de geometría plana

    Se expone a continuación un conjunto de cuestiones que relacionan diversos aspectos de la geometría plana.

    Problema 1. Hallar los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 60 m y que la diferencia entre la hipotenusa y el cateto mayor es igual a la diferencia entre los catetos.

    Solución. Sean x, y, z el cateto mayor, el menor y la hipotenusa, respectivamente, del triángulo buscado. Según el enunciado y teniendo en cuenta que, por tratarse de un triángulo rectángulo, deberá cumplirse el teorema de Pitágoras:

    x + y + z = 60

    z – x = x – y

    x2 + y2 = z2

    De la segunda ecuación:

    z = 2x – y (1)

    Sustituyendo este resultado en la primera ecuación:

    x + y + 2x – y = 60 x = 20 m

    Sustituyendo (1) en la tercera:

    x2 + y2 = (2x – y)2 x2 + y2 = 4x2 + y2 – 4xy 3x = 4y y = 15 m

    Sustituyendo en (1) los valores de x e y:

    z = 2·20 – 15 z = 25 m

    Problema 2. Una circunferencia tiene 60 m de diámetro. ¿A qué distancia de su centro habrá que tomar un punto para que la longitud de la tangente trazada desde éste mida 24 m?

    24

    P

    x

    Solución. Sea P el punto buscado. Teniendo en cuenta que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto, el triángulo que se formará será rectángulo, por lo que, según la figura:

    (30 + x)2 = 302 + 242 900 + x2 + 60 x = 900 + 576 x2 + 60 x – 576 = 0

    Al resolver esta ecuación se tienen como soluciones aproximadas:

    x1= 8,415 m ; x2 = -68,415 m

    Por la naturaleza del problema la única solución válida es la primera.

    Problema 3. Hallar el área de un rombo, cuyo perímetro es 104 m, siendo 20 m una de sus diagonales.

    x

    y C

    B

    A

    10

    Solución. Llamando x al lado del rombo:

    4x = 104 x = 26

    Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo BAC:

    262 = 102 + y2 y2 = 576 y = 24 m

    Luego, el área del rombo será:

    S =

    Problema 4. En un patio cuadrado, en el que cada una de sus paredes mide 12 m de longitud, se quiere construir una pista circular, tangente a sus cuatro paredes, pavimentada con mosaicos de 1 cm2 cada uno. Hallar el número de mosaicos que se necesita.

    12

    Solución. Como se puede observar en la figura, el lado del cuadrado es igual al diámetro de la circunferencia, por lo que el radio, r, de ésta será:

    r = 6 m

    En consecuencia, el área del círculo que se ha de pavimentar será:

    S = · r2 S = 3,1415 · 62 S = 113,094 m2 S = 1.130.940 cm2

    Por tanto el número de mosaicos necesario será 1.130.940.

    Problema 5. Una estaca clavada verticalmente en el terreno tiene una longitud de 1,25 m y proyecta una sombra de 0,8 m. ¿Cuál es la altura de un árbol que en el mismo momento da una sombra de 5,60 m?

    Solución. Llamando BAC al triángulo rectángulo definido al unir el extremo de la estaca con el extremo de su sombra y B’A’C’, el logrado de la misma forma con el árbol y su sombra, dado que ambos son semejantes:

    Problema 6. Los lados contiguos de un rectángulo miden 342 y 108 m, respectivamente. ¿Cuántos cuadrados del mayor tamaño posible se necesitan para cubrir el rectángulo?

    Solución. La longitud del lado del mayor cuadrado posible será el máximo común divisor de las longitudes de sus lados. Como:

    m.c.d. (342, 108) = 18

    el lado del máximo cuadrado a insertar es 18 m.

    Como el área del rectángulo es:

    S = 342 · 108 S = 36.936 m2

    Llamando n al número de cuadrados necesarios:

    36.936 = n · 182 36.936 = n · 324 n = 114