Problemas de razones trigonométricas

    Todo ángulo tiene asociados a él seis números (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) denominados razones trigonométricas del mismo. Dado que estas razones están ligadas por una serie de fórmulas, basta con conocer una de ellas para determinar las restantes. Así pues, para la resolución de problemas de razones trigonométricas es preciso tener presentes las siguientes equivalencias matemáticas:

    ctg A = (1) sen A = (5)

    sec A = (2) cos A = (6)

    cosec A = (3) 1 + tg2 A = sec2 A (7)

    sen2 A + cos2 A = 1 (4) 1 + ctg2 A = cosec2 A (8)

    tg A = (9)

    Problema 1. Sabiendo que sen A = , hallar las demás razones trigonométricas del ángulo A, el cual se halla en el primer cuadrante.

    Solución. Aplicando (4):

    sen2 A + cos2 A = 1 cos A =

    Como el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, su coseno es positivo, luego:

    cos A =

    Aplicando ahora la fórmula (9):

    tg A = tg A = tg A =

    Hallando las correspondientes inversas de las razones que tenemos:

    ctg A = ; sec A = sec A = ; cosec A = 3

    Problema 2. Sabiendo que cos A = y que este ángulo se halla en el primer cuadrante, determinar el resto de sus razones trigonométricas.

    Solución. Aplicando (4):

    sen2 A + cos2 A = 1 sen2 A + = 1 sen A =

    Como el ángulo se encuentra en el primer cuadrante:

    sen A =

    Según (9):

    tg A = tg A = tg A =

    Conocidas estas tres razones, sus inversas proporcionarán las restantes.

    Problema 3. Sabiendo que tg A = -2 y que el ángulo A se halla en el segundo cuadrante, determinar el resto de sus razones trigonométricas.

    Solución. Aplicando (5):

    sen A = sen A = sen A =

    Como los ángulos situados en el segundo cuadrante tienen su seno positivo, habrá que tomar el signo negativo de la raíz, luego:

    sen A =

    Aplicando (6):

    cos A = cos A = cos A =

    Como en el segundo cuadrante, los ángulos tienen su coseno negativo, se tomará el signo negativo de la raíz, con lo que:

    cos A =

    Las inversas de seno, coseno y tangente (ahora ya conocidos) darán las otras razones (cosecante, secante y cotangente, respectivamente).