Método deductivo

En la antigüedad y en periodos posteriores no ha sido inhabitual que el ser humano busque explicación a los fenómenos del mundo que le rodea en las acciones de unos poderes ocultos identificados con diversos dioses. Así, por ejemplo, el hecho de que la cosecha de un año hubiera sido buena se comprendía por la benevolencia de la deidad de la agricultura y, si había sido mala, se justificaba por la irritación de esa misma deidad por alguna ofensa de los campesinos.

Entre los primeros grupos de pensadores que rechazaron este tipo de justificaciones y en afirmar que el hombre puede explicarse todo con el único ejercicio de su capacidad de razonar fueron los filósofos griegos, conocidos con el nombre de presocráticos. Entre ellos, por su influencia en la matemática, puede citarse a Euclides y a Tales de Mileto.

En el siglo IV a.C., Aristóteles aportó los principios de la lógica, que consideraba imprescindible para llegar a conclusiones correctas. El filósofo griego definió dos métodos de razonamiento: deductivo, que permite pasar de lo general a lo particular, e inductivo, que recorre el camino inverso. Aunque ambos son de aplicación a la matemática, ésta utiliza preferentemente el primero, que dota al edificio matemático de notable solidez.

En la deducción, se parte de unos enunciados de tipo universal de los que se extraen consecuencias particulares. Dentro de ella, se considera dos variantes: el método axiomático-deductivo, cuando las proposiciones de partida son axiomas (proposiciones no demostrables), y el método hipotético-deductivo, que se presenta cuando las proposiciones de partida son afirmaciones comprobables.

La herramienta de trabajo de la deducción es el silogismo, razonamiento que consta de dos premisas y una conclusión y que admite diferentes modos, según la naturaleza de dichas premisas. Un ejemplo típico de silogismo es:

Todos los hombres son mortales

Pedro es hombre

Luego Pedro es mortal

Para que un silogismo sea correcto, cada premisa debe tener un elemento común con la conclusión y un segundo elemento relacionado con la otra premisa. Además, deben cumplir las siguientes leyes:

Relativas a los términos:

  • El silogismo debe constar sólo de tres términos: mayor, menor y medio.

  • El término medio nunca debe aparecer en la conclusión.

  • El término medio debe ser universal, al menos en una de las premisas.

  • De dos premisas negativas, nada se sigue.

  • La conclusión siempre sigue la parte más débil.

  • En la conclusión, los términos no deben ser más extensos de lo que fueron en las premisas.

Relativas a las premisas

  • Dos premisas afirmativas nunca pueden dar una conclusión negativa.

  • Ambas premisas no pueden ser negativas.

  • Ambas premisas no pueden ser particulares.

  • La conclusión sigue siempre la parte más débil, también denominada la "peor parte". De ahí se sigue que si una de las premisas es negativa, la conclusión será negativa; y que si una de las premisas es particular, la conclusión también será particular.

La inobservancia de estas leyes puede conducir a la elaboración de sofismas, los cuales son razonamientos falsos con apariencia de correctos. Un ejemplo de ello puede ser:

Un perro es mortal

Un gato es mortal

Luego un perro es un gato