Problemas de trabajo y energía

    Como base previa, debe recordarse que:

    • El trabajo realizado por una fuerza F a lo largo de un segmento rectilíneo, de longitud e, con el que forma un ángulo w, es:

    W = F · e · cos w

    • La energía es la capacidad para producir trabajo. Existen dos tipos de energía mecánica:

      1. Potencial. Es la que posee un cuerpo en virtud de su posición. La energía potencial de un cuerpo de masa m, situado a una altura h, es:

    Ep = m · g · h

      1. Cinética. Es la que presenta un cuerpo por su velocidad. La energía cinética de un cuerpo de masa m que se mueve a una velocidad v es:

    Ec = m · v2

    Problema 1. Calcular la velocidad que sería necesario comunicar a un proyectil de 340 kg para que adquiera una energía cinética igual a la cuarta parte de la que posee un acorazado de 10.000 toneladas que marcha con una velocidad de 18 nudos. Expresar la velocidad del proyectil en el S.I, sabiendo que 1 milla = 1,852 km y que un nudo es 1 milla/hora.

    Solución. Se expresará la velocidad en nudos en el S.I:

    18 nudos = 18 = 18 = 18 = 9,26 m/s

    La energía cinética del acorazado es:

    107 (9,26)2

    Llamando v a la velocidad que hay que comunicar al proyectil, según el enunciado, deberá suceder que:

    340 · v2 = 107 (9,26)2

    Despejando la velocidad en esta ecuación:

    v = 810 m/s

    Problema 2. Sobre un punto material de 5 g actúa una fuerza constante que, después de 5 segundos, le comunica una energía de 2.250 erg. Hallar la intensidad de la fuerza, la aceleración existente y el espacio recorrido hasta alcanzar esa energía.

    Solución. La energía cinética es:

    Ec = m · v2

    Como, en un movimiento uniformemente acelerado, es v = a · t, siendo a la aceleración, se tendrá que:

    Ec = m · a2 · t2

    Sustituyendo valores numéricos:

    2.250 = (5) · a2· (5)2

    Despejando la aceleración:

    a = 6 cm/s

    Como:

    F = m · a F = 5 · 6 F = 30 dinas

    El trabajo originado hasta alcanzar los 2.250 ergios de energía habrá sido originado por la fuerza F, actuando durante un espacio x, con lo que:

    2.250 = 30 · x x = 75 cm

    Así pues, la energía de 2.250 ergios se logra cuando la bala ha recorrido 75 cm.

    Problema 3. Desde una torre de 30 m de altura se lanza un objeto de 0,1 kg de masa con una velocidad de 16 m/s en una dirección que forma 45º con la horizontal. ¿Cuál es la energía total del objeto en el momento del lanzamiento? ¿Cuál es su velocidad cuando se encuentra a 10 m del suelo?

    Solución. La energía cinética del objeto en el momento de su lanzamiento es:

    Ec = m · v2 Ec = (0,1). (16)2 Ec = 12,8 J

    Y la potencial:

    Ep = m · g · h Ep = (0,1) · (9,8). (30) Ep = 29,4 J

    Luego la energía total es:

    Et = Ec + Ep Et = 12,8 + 29,4 Et = 42,2 J

    Por el principio de conservación de la energía, la energía total en el momento del lanzamiento debe ser igual a la energía total cuando el cuerpo está a 10 metros del suelo. Llamando x a la velocidad que tiene en ese momento:

    42,2 = m· g ·h + m · x2 42,2 = (0,1)·(9,8)·(10) + (0,1) · x2

    Operando:

    42,2 = 9,8 + 0,05 · x2 32,4 = 0,05 · x2 x = 25,45 m/s

    Problema 4. Un cañón, de 30 cm de diámetro y 15 m de longitud, lanza un proyectil de 350 kg, comunicándole una velocidad inicial de 900 m/s. El proyectil llega al blanco con una velocidad de 540 m/s. Suponiendo que el movimiento del proyectil dentro del tubo del cañón es uniformemente acelerado, calcular:

    1. Aceleración del proyectil dentro del tubo del cañón.

    2. Tiempo invertido en recorrer el tubo del cañón.

    3. Fuerza ejercida por los gases de la pólvora sobre el proyectil.

    4. Presión de estos gases sobre la base del proyectil.

    5. Energía cinética del proyectil a su salida del cañón y al llegar al blanco.

    Solución.

    1. En un movimiento uniformemente acelerado, siendo v la velocidad, a la aceleración y e el espacio, se cumple que:

    a =

    En este caso:

    a = a = 27.000 m/s2

    1. En un movimiento uniformemente acelerado:

    v = a · t t = t = t = 0,033 s

    1. Como la energía cinética se invierte en el trabajo desarrollado por el proyectil, llamando F a la fuerza buscada:

    m · v2 = F· s F =

    Sustituyendo valores numéricos:

    F = F = 945· 104 N

    1. La presión es:

    P = P = P = 13.385,269 N/m2

    1. En el momento del disparo, la energía cinética es:

    Ec = m · v2 Ec = (350) · (900)2 Ec = 157,5 · 105 J

    Al llegar al blanco:

    E’c = m · v’2 E’c = (350)· (540)2 E’c = 945 · 103 J