Mosaicos de Penrose

    Los mosaicos de Penrose son estructuras matemáticas constituidas por la unión en grupos de filas paralelas de elementos geométricos sencillos no periódicos. Su empleo tiene como finalidad conformar una teselación de acuerdo con unas normas de configuración fijas. Estos mosaicos fueron propuestos en la década de 1970 por el matemático y físico inglés Roger Penrose, también destacado como filósofo de la ciencia.

    En general, un mosaico consiste en una descomposición de una superficie plana en un conjunto de elementos, denominados teselas, que se encajan entre sí para cubrir la superficie por completo. Estos dibujos son muy habituales en la vida corriente, desde sus formas artísticas (son muy conocidos los mosaicos de las villas de la Roma antigua) hasta sus usos más funcionales, por ejemplo, para pavimentar una acera. La forma más sencilla de teselar una superficie, esto es, cubrirla completamente con las teselas de un mosaico, consiste en utilizar elementos periódicos, que se repiten entre sí para formar un dibujo geométrico. Los polígonos (cuadrados, hexágonos, rombos u otras formas) son los más comunes de estos elementos.

    La originalidad de la propuesta de Penrose consiste en utilizar teselas no periódicas para cubrir la superficie en cuestión. En su primera solución a este problema, el científico inglés utilizó cuatro figuras compositivas para completar la superficie: pentágonos regulares, rombos, estrellas de tres puntas y estrellas de cinco puntas. Para llegar a este resultado, comenzó primero por cubrir la superficie sólo con pentágonos regulares, tras lo cual, evidentemente, quedaban espacios vacíos. Después, rellenó estos huecos con las restantes figuras (rombos y estrellas), hasta no dejar ningún vacío sobre la superficie. Posteriormente, se han propuesto otras formas aperiódicas de ocupar una superficie plana con mosaicos. Una de ellas es la llamada teselación con dardos y cometas, a la que se añade una tercera modalidad basada en pares de rombos ensamblados de formas diferentes.

    Estas ideas, que surgieron como un divertimento matemático, han encontrado notables aplicaciones en la ciencia, la tecnología, la arquitectura, las artes visuales y la música. Además de su carácter no periódico, los mosaicos de Penrose tienen la propiedad de la autosemejanza o autosimilitud, una característica propia de los fractales, en virtud de la cual un objeto es similar a cualquiera de las partes que lo componen. La autosemejanza es una cualidad propia de numerosos objetos y entidades del mundo real, como los copos de nieve, las fallas geológicas o las líneas de costa que delimitan los continentes. Por otra parte, la teselación de Penrose está asociada a las estructuras de los cuasicristales, unas estructuras físicas que están ordenadas pero no son periódicas, así como a distintas aleaciones constituidas por mezclas de aluminio, hierro y cobre.

    Algunas de las aplicaciones tecnológicas interesantes de los mosaicos de Penrose tienen lugar en la elaboración de formas y texturas virtuales por computadora. La animación, la creación de productos interactivos, la síntesis de imágenes y el diseño de interiores se encuentran entre sus campos de utilización práctica más habituales.