Álgebra

Rama de las matemáticas que utiliza letras para representar cantidades aritméticas, logrando así una absoluta generalización.

Su origen se atribuye a egipcios y babilonios, quienes necesitaban una herramienta que les permitiese solucionar los problemas comerciales y de mediciones de terreno que su actividad diaria les planteaba. Éstos fueron capaces de resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, utilizando, prácticamente, algoritmos análogos a los actuales.

Sus conocimientos pasaron al mundo griego, en el que Diofantos y Herón hicieron aportaciones notables; desde los helenos, las nuevas teorías se transmitieron a los árabes, quienes le dieron su nombre. El impulso que éstos dieron a la nueva ciencia fue de total importancia escribiendo, ya en el siglo IX, tratados sobre ella, en los que se recogían, de una forma sistematizada, todos los conocimientos existentes en la época.

En el siglo XII, comenzaron a traducirse las obras árabes, lo que pronto suscitó que los matemáticos europeos se interesaran por el álgebra y contribuyeran a su desarrollo con importantes aportaciones. Los nombres de Fibonacci, Cardano o Tartaglia son buena prueba de ello. Entre el siglo XVI y hasta el XIX, no cesó la construcción del Álgebra: Descartes, Abel, Galois, Gauss son algunos de los gloriosos nombres ligados con esta rama de las matemáticas. Con la creación de la Teoría de Conjuntos, se alcanzó un alto grado de abstracción.

Se estableció una notación peculiar que designaba a las incógnitas con las últimas letras del abecedario, x, y, z, reservando, en principio, las restantes para representar cantidades conocidas. La utilización de las operaciones aritméticas servía para el establecimiento de identidades y ecuaciones.

Tomando como base el álgebra, Hamilton desarrolló la mecánica operatoria de los números complejos y, algún tiempo después, Grasmann, en un nuevo alarde de abstracción, sentó las bases del álgebra vectorial, la cual es de profusas aplicaciones en campos muy dispares. La Física y la Economía, por poner sólo un ejemplo, corroboran esta afirmación. El álgebra lineal recopila, completada con el cálculo matricial, todo el cuerpo doctrinal al respecto.

En esa línea, hacia 1854, el inglés George Boole creó la rama del Álgebra que lleva su nombre y que sería aplicada en electrónica para crear circuitos lógicos, imprescindibles en las modernas computadoras y en multitud de máquinas y dispositivos.

En definitiva, el Álgebra no sólo es –a través de las ecuaciones y de los sistemas de éstas– una herramienta de gran valía para la resolución de múltiples cuestiones planteadas por la vida ordinaria y por la actividad científica, sino que además ha servido de base para el desarrollo de otras ramas de absoluta utilidad en otras ciencias. Todo ello está presidido por un absoluto rigor científico y por un altísimo grado de abstracción, lo que hace que los resultados logrados tengan un extenso campo de validez.

Formulario de álgebra

Combinatoria

Variaciones

Vm,n = m · (m – 1) · (m – 2) ·... · (m – n +1)

Combinaciones

(*)

Propiedad de los números combinatorios

Igualdad de Euler

Permutaciones

Pn = n!

Permutaciones circulares

PCn = (n – 1)!

Variaciones con repetición

VR,m,n = mn

Combinaciones con repetición

CRm,n =

Permutaciones con repetición

(r + s + t + ... = n)

(*): n! se denomina factorial de n. Su valor es: n! = n · (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·...· 2 · 1

Por convenio:

0! = 1 ; 1! = 1

Simplificación de funciones lógicas (booleanas)

A + 0 = A

A · A = A

A + 1 = 1

0

A · 0 = 0

A · 1 = A

A + A · B = A

A + A = A

A + B = B + A

A + (B + C) = (A + B) + C

A · B = B · A

A · (B · C) = (A · B) · C

A · (A + B) = A

Álgebra de conjuntos

Propiedades de la unión de dos conjuntos

Idempotente:

Conmutativa:

Asociativa:

Propiedades de la intersección de dos conjuntos

Idempotente:

Conmutativa:

Asociativa:

Propiedad distributiva de la unión respecto a la intersección

Propiedad distributiva de la intersección respecto a la unión

Leyes de Morgan

Cardinal de la unión de dos conjuntos

Cardinal de la unión de tres conjuntos