Geometría

De forma genérica, podría definirse como la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las figuras, sus propiedades y su relación con el plano. Al parecer, se inició en Babilona y en Egipto, con especial incidencia en este último país, debido a la abundancia de edificaciones y obras hidráulicas que allí se realizaron.

No obstante, la construcción de la Geometría se inició de forma sistemática en el mundo griego con las bases sentadas por Euclides, quien formuló los postulados que le sirven de fundamento, y con las sucesivas aportaciones que hicieron los filósofos helenos, a partir del siglo VII a. C. En este sentido, hay que mencionar a Tales de Mileto, a Anaxágoras, a Pitágoras, a Arquímedes, etc, por sólo citar algunos entre una extensísima nómina.

El mundo romano no prestó demasiada atención a la Geometría, y fue a través de los árabes como se transmitieron a la Europa medieval los conocimientos del mundo griego. Geberto, Campano y Abelardo fueron pioneros en extender la nueva ciencia, la cual fue aprovechada por los arquitectos para realizar sus cálculos.

Con Descartes, se inició una revolución en la Geometría al introducirse el álgebra para solucionar problemas geométricos. Nació así la denominada Geometría Analítica. La creación del cálculo diferencial y su aplicación a la Geometría, de la misma manera que lo había hecho Descartes con el álgebra, dió paso a la geometría diferencial. Más tarde, apareció la geometría proyectiva o descriptiva.

En resumen, las ramas existentes en la Geometría son:

  • Geometría métrica: estudia las figuras del plano (polígonos, circunferencia, círculo, etc) y las del espacio (poliedros, pirámides, cilindros, conos, esferas, etc). Emplea únicamente la regla y el compás. Esta rama también se denomina Geometría Pura y Geometría Elemental. Tiene importantísimas y profusas aplicaciones.

  • Geometría analítica: aplica a los elementos geométricos los recursos del álgebra. Un punto viene determinado por sus coordenadas y una línea por su ecuación. Permite representaciones gráficas de muy alto valor informativo.

  • Geometría diferencial: estudia las características de una curva o de una superficie en el entorno de cualquier punto de las mismas. Se apoya en el cálculo diferencial (concepto de elemento diferencial, del de derivada, etc).

  • Geometría Proyectiva: estudia las relaciones entre elementos geométricos, prescindiendo de la medida de éstos. Establece una serie de sistemas de representación (diédrico, planos acotados, etc), que permiten trasladar el espacio tridimensional al bidimensional.

La Geometría es de absoluta importancia en la resolución de múltiples problemas de la vida diaria, en muchas ciencias puras, como la Física o la Química y en cualquier disciplina que exija representaciones, como sucede en las diversas ramas de la Ingeniería, la Topografía, la Geografía, etc.

Finalmente, hay que hacer una mención a la geometría no euclidiana, muy útil para el desarrollo de la Teoría de la Relatividad.

Formulario de geometría

Cambios de sistema de referencia

Coordenadas cartesianas

Traslación de ejes

x = x’ + a

y = y ‘ + b

(x e y = coordenadas primitivas; x’ e y’ = coordenadas nuevas)

Rotación de ejes un ángulo w:

x = x’ · cos w – y’· sen w

y = x’ · sen w + y’ · cos w

x’ = x · cos w + y · sen w

y’ = -x · sen w + y · cos w

(w = ángulo que forma el eje OX primitivo y el OX’ nuevo)

Paso de cartesianas a polares:

Paso de polares a cartesianas

x = r · cos w

y = r · sen w

Paso de cartesianas a cilíndricas

z = z

Paso de cilíndricas a cartesianas

x = r · cos w

y = r · sen w

z = z

Paso de cartesianas a esféricas

Paso de esféricas a cartesianas

Geometría analítica

Distancia entre dos puntos (d)

(x e y = coordenadas de un punto; x’ e y’ = coordenadas del otro punto)

Punto medio de un segmento (P)

Ecuación de una recta que pasa por el origen

y = m · x

(m = pendiente de la recta)

Ecuación de una recta que no pasa por el origen

y = m · x + n

(n = ordenada en el origen)

Ecuación de una recta en forma punto-pendiente

y – y1 = m · (x – x1)

(x1 e y1 = coordenadas de un punto de la recta; m = pendiente de la recta)

Recta que pasa por dos puntos

(a y b = abscisa y ordenada, respectivamente, de un punto; c y d = abscisa y ordenada, respectivamente, del otro punto)

Ecuación canónica de la recta

(a = segmento que, con el origen, la recta define sobre OX; b = segmento que, con el origen, la recta define sobre OY)

Ecuación de una recta paralela al eje de abscisas

y = k

(k = distancia entre la recta y el eje de abscisas)

Ecuación de una recta paralela al eje de ordenadas

x = k

(k = distancia entre la recta y el eje de ordenadas)

Ecuación de la bisectriz del primer cuadrante

y = x

Ecuación de la bisectriz del segundo cuadrante

y = - x

Ecuación de eje x

y = 0

Ecuación del eje y

x = 0

Recta en forma explícita

y = m · x + n

(m = pendiente de la recta; n = ordenada en el origen)

Recta en forma implícita

A · x + B · y + C = 0

Condición de paralelismo entre rectas

m = m’

(m y m’ = pendientes de ambas rectas, respectivamente)

Condición de perpendicularidad entre rectas

(m y m’ = pendientes de ambas rectas, respectivamente)

Ángulo de dos rectas

(m y m’ = pendientes, respectivamente, de las dos rectas que forman los lados del ángulo.

Distancia del punto P(a,b) a la recta Ax + By + C = 0

Ecuaciones paramétricas de la recta

x = x1 + t · vx

y = y1 + t · vy

(x1 e y1 = abscisa y ordenada de un punto de la recta; vx y vy = componentes sobre OX y OY, respectivamente, de un vector situado sobre la recta; t = parámetro)

Ecuación continua de la recta

Cónicas

Circunferencia

Ecuación canónica

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

(centro C(a,b); radio r)

Ecuación desarrollada

x2 + y2 + a ·x + b · y + c = 0

(centro C(-a/2, -b/2) y radio r, tal que a2+b2 – r2 = 0)

Potencia de P(m,n) respecto a x2+y2 + a · x + b · y + c = 0

Pot= m2 + n2 + a · m + b · n + c

Elipse

Ecuación canónica

(a = semieje de la elipse sobre OX; b = semieje de la elipse sobre OY)

Focos

F(c,0) y F’(-c,0)

(c2 = a2 – b2)

Excentricidad (e)

Área

Tangente a la elipse en el punto P(a,b) de ella

Hipérbola

Ecuación canónica

(a = semieje real de la hipérbola; b = semieje imaginario de la hipérbola)

Focos

F(c,0) y F’(-c,0)

(c2 = a2 + b2)

Excentricidad (c)

Asíntotas

Tangente en el punto P(m,n) de ella

Hipérbola equilátera (a = b), referida a sus asíntotas como ejes

x · y = k

Parábola

De eje horizontal

y2 = k · x

(eje: el de abscisas; directriz: y = -p/2; Foco (-p/2,0)

De eje vertical

y = a · x2

(eje: el de ordenadas)

De eje vertical cualquiera

y = a · x2 + b · x + c

(abscisa del vértice: x = - b/2·a)

Área de figuras planas

Triángulo

(b = base; h = altura)

Rectángulo

S = a · b

(a = base; b = altura)

Cuadrado

S = a2

(a = lado)

Rombo

(d = diagonal mayor; d’ = diagonal menor)

Trapecio

(B = base mayor; b = base menor)

Círculo

(r = Radio)

Sector circular

(r = radio del círculo al que pertenece el sector circular)

Corona circular

S = · (R2 – r2)

(R = radio mayor; r = radio menor)

Trapecio circular

(R = radio mayor; r = radio menor; n = número de grados)

Circunferencia

Longitud

L = 2· · r

(r =r)

Longitud de un arco

(r = radio; n = número de grados)

Potencia de un punto

P = d2 – r2

(d = distancia del punto al centro de la circunferencia; r = radio de la circunferencia)

Triángulos rectángulos

Teorema de Pitágoras

(a = hipotenusa; b y c = catetos)

Teorema del cateto

b2 = a · y

(y = proyección del cateto b sobre la hipotenusa)

Teorema de la altura

h2 = x · y

(x e y = segmentos que define la altura sobre la hipotenusa)

Área

Áreas de figuras espaciales

Área del prisma recto

SL = P · h

St = SL + 2 · B

(SL = área lateral; P = perímetro de la base; h = altura; St = área total; B = área de una base)

Área del prisma oblicuo

SL = P’ · l

St = SL + 2 · B

(P’ = perímetro de la sección recta; l = arista lateral)

Área del cubo

S = 6 · a2

(a = arista del cubo)

Área del tetraedro

(a = arista del tetraedro)

Área del octaedro

Área del cilindro

SL = 2 · · R · g

St = SL + 2 · · R2

(R = radio; g = generatriz)

Área de la pirámide

St = SL + B

(P = perímetro de la base; a = apotema de la pirámide; B = área de la base)

Área del tronco de pirámide

St = SL + B + B’

(P = perímetro de la base mayor; P’ = perímetro de la base menor; a = apotema del tronco de pirámide; B = área de la base mayor; B’ = área de la base menor)

Área del cono

SL = · R · g

St = SL + · R2

(R = radio; g = generatriz)

Área del tronco de cono

SL = · g · (R + r)

St = SL + · (R2 + r2)

(g = generatriz del tronco de cono; R = radio de la base mayor; r = radio de la base menor)

Área de la superficie esférica

(R = radio de la superficie esférica)

Área del casquete esférico

(R = radio de la superficie esférica a la que pertenece el casquete; h = altura del casquete)

Área del huso esférico

(R = radio de la superficie esférica a la que pertenece el huso; n = número de grados del huso)

Volúmenes de cuerpos espaciales

Volumen del prisma

V = B · h

(B = área de la base; h = altura)

Volumen del cubo

V = a3

(a = arista del cubo)

Volumen del tetraedro

(a = arista del tetraedro)

Volumen del octaedro

(a = arista del octaedro)

Volumen del cilindro

(R = radio; g = generatriz)

Volumen de la pirámide

(B = área de la base; h = altura)

Volumen del tronco de pirámide

(h = altura del tronco; B = área de la base mayor; b = área de la base menor)

Volumen del cono

(R = radio del cono)

Volumen del tronco de cono

(h = altura del tronco; R = radio de la base mayor; r = radio de la base menor)

Volumen de la esfera

(R = radio de la esfera)

Volumen del casquete esférico

(R = radio de la esfera a la que pertenece el casquete; h = altura del casquete)

Volumen de la cuña esférica