Trigonometría

Parte de las matemáticas que estudia la relación entre los ángulos del polígono más sencillo, el triángulo, y sus lados. Sus consecuencias pueden extrapolarse a cualquier otro polígono, ya que éste puede descomponerse en triángulos. Además, permite considerar, incluso, relaciones entre elementos de figuras espaciales.

Sin duda, su origen se halla en los problemas que, desde tiempos antiguos, le planteaban al hombre la navegación, la astronomía, la agrimensura y, muy a menudo, la determinación de distancias no accesibles.

Los comienzos de la trigonometría (tri = tres, gonos = ángulo, metros = medida) se hallan en Babilonia y en Egipto, donde ya se determinó una forma de medir los ángulos, mediante el llamado sistema sexagesimal, sistema de base sesenta, en el que cada grado quedaba dividido en sesenta partes iguales, que se llamaban minutos, y cada minuto, a su vez, en sesenta partes iguales, cada una de las cuales se denominaba segundo.

Se considera que el iniciador de esta rama de la matemática es el heleno Hiparco de Nicea (180 – 125 a. C.), habiendo sido sus trabajos continuados por Ptolomeo y por Aristarco de Samos. De Grecia, los estudios de estos científicos pasaron a India y a Arabia y desde allí se difundieron por Europa.

En este continente, diferentes matemáticos contribuyeron al desarrollo de esta disciplina, destacando entre los mismos Bartolomé Pitiscus, Francisco Viéte, John Neper, Leonard Euler, etc. El primero de ellos fue el autor de un tratado sobre la materia, primero en publicarse, y entre todos sistematizaron los contenidos de la misma, estableciendo que todo triángulo posee seis elementos (tres lados y tres ángulos), de los que, conocidos algunos, se puede deducir el resto.

La trigonometría cobra, además, especial importancia cuando en el campo de la Física se descubre que muchos fenómenos periódicos son expresables matemáticamente mediante funciones trigonométricas de variable real, sinusoidales y cosinusoidales.

Así pues, las principales aplicaciones de esta rama de las matemáticas se encuentran en la Física (movimiento ondulatorio, electricidad, etc), y en la navegación por satélite.

Hay que distinguir dos trigonometrías: la plana, que es de la que hemos hablado hasta el momento y la esférica, en la que se considera triángulos definidos sobre una esfera.

Formulario de trigonometría

Relaciones entre razones trigonométricas

sen2 w + cos2 w = 1

1 + tg2 w = sec2 w

1 + ctg2 w = cosec2 w

Razones de w y

Razones de w y

Razones de w y - w

sen w = - sen (-w)

cos w = cos (-w)

tg w = - tg (-w)

Periodicidad de las razones

Relaciones entre ángulos

Suma de ángulos

sen (a + b) = sen a · cos b + cos a · sen b

cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b

tg (a + b) =

Diferencia de ángulos

sen (a – b) = sen a · cos b – cos a · sen b

cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b

Ángulo doble

sen 2w = 2 · sen w · cos w

cos 2w = cos2 w – sen2 w

Ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Triángulos

(a, b, c = Lados del triángulo ; A, B y C = Ángulos del triángulo, opuestos, respectivamente a los lados a, b y c)

Teorema de los senos

Teorema del coseno

Teorema de Neper

(1)

Fórmulas de Brigss:

(2)

(p = semiperímetro)

Expresiones del área del triángulo

(R = radio de la circunferencia circunscrita)

S = p · r

(r = Radio de la circunferencia inscrita)

(Fórmula de Herón)

(1): Lógicamente, existen las mismas fórmulas para dos parejas de lados cualquiera.

(2): Puede aplicarse para cualquier ángulo, haciendo las pertinentes permutaciones circulares.

Razones de ángulos notables

90º

180º

270º

360º

60º

30º

45º

seno

0

1

0

-1

0

coseno

1

0

-1

0

1

tangente

0

0

-

0

1