Historia de la lógica

Aunque la historia de la lógica se inició en la antigua Grecia hacia el siglo iv a.C. con la obra de Aristóteles, ésta experimentó una escasa evolución durante largo tiempo.

Los pensadores de la Edad Moderna consideraron que la lógica había concluido por completo ya en la antigüedad. Pero en el siglo xix autores como George Boole o Gottlob Frege introdujeron importantes innovaciones en ella, emparentándola con las matemáticas.

En la actualidad, la lógica se halla vinculada a un gran número de tecnologías, y su desarrollo está marcado por las necesidades teóricas que precisan cubrir los nuevos sistemas de cálculo y las modernas relaciones matemáticas y científicas.

Los periodos en la historia de la lógica

Se suelen distinguir dos grandes periodos dentro de la historia de la lógica. El primero, que nace con Aristóteles y concluye con Immanuel Kant, se conoce como «lógica clásica». El segundo parte de la matematización de la disciplina, y se debe a los estudios de John Venn (1834-1923) y de los citados Boole y Frege. A este periodo se le llama de diversas maneras: «lógica simbólica», «lógica matemática» o «álgebra lógica», dependiendo de la perspectiva que se adopte.

Para algunos autores actuales, las lógicas tradicional y simbólica son completamente heterogéneas, no tienen nada que ver. Para otros, sin embargo, la segunda es una evolución de la primera bajo un nuevo paradigma científico y teórico que recuperó el interés por la estructura de los razonamientos y su relación con la realidad.

También hay quien señala que la época medieval debe considerarse como un tercer periodo dentro de la historia de la disciplina, pues en ella se reformularon los principios aristotélicos, con una vigencia que se mantuvo durante buena parte de la Edad Moderna.

Aristóteles es considerado como el padre de la lógica. El conjunto de obras recopiladas bajo el título de Órganon trata sobre algunos de los rudimentos de la lógica clásica, como la relación entre los símbolos y la realidad o el valor de la inferencia.

No cabe hablar, pues, de un progreso lineal y continuo de la lógica, sino de distintos momentos epistemológicos que desarrollaron de diferentes maneras unas preocupaciones semejantes. Así, no es extraño encontrar teorías que en su momento apenas tuvieron acogida, pero que luego fueron rescatadas del olvido por los nuevos lógicos.

La lógica clásica

Aunque Aristóteles fue el primer pensador que desarrolló de una manera sistemática la lógica, ésta era ya muy importante en la obra de la mayoría de los pensadores clásicos. Conviene recordar a este respecto que la Grecia antigua manejaba un sistema filosófico y político que giraba en torno a la idea de diálogo, de razonamiento, y en consecuencia se daba una gran importancia a la coherencia de los argumentos, a la lógica. En esta disciplina destacaron filósofos como Zenón de Elea (hacia el 495-430 a.C.), célebre gracias a sus razonamientos dialécticos y a sus paradojas, Sócrates (hacia el 470-399 a.C.) y Platón (428-347 a.C.).

Tabla 1. Aunque es usual hablar de dos momentos elementales dentro de la historia de la lógica, que son el clásico y el simbólico, hay autores que hablan de un tercero, el medieval, en el que se estudia básicamente la lógica aristotélica pero con importantes innovaciones.

La lógica de Aristóteles

Partiendo en gran medida de Sócrates y Platón, Aristóteles (384-322 a.C.) llevó a cabo la primera sistematización y definición de la lógica, disciplina que diferenció de la retórica, utilizada por los sofistas como arma dialéctica.

Según el pensador de Estagira, la retórica se caracterizaba porque servía para persuadir a partir del estudio de las teorías adecuadas para conmover al oyente, mientras que la lógica se definía como la teoría de la inferencia o de los razonamientos correctos.

Tabla 2. El Órganon de Aristóteles incluye un conjunto de obras que tratan distintos aspectos de la lógica clásica, de tal forma que cada libro se centra en uno de ellos. El Órganon se terminó convirtiendo en la expresión ortodoxa de la lógica hasta casi el siglo XIX.

Así, Aristóteles distinguía entre la facultad de seducir mediante la palabra y el arte de construir razonamientos correctos, ya que es posible construir un argumento perfectamente coherente y no convencer al interlocutor de que lo que se dice es cierto, y, en el caso contrario, se puede decir algo lógicamente falso y convencer a los demás gracias al empleo de palabras sugerentes o incidiendo en la emocionabilidad del oyente.

Las obras que Aristóteles escribió en torno a la lógica se encuentran agrupadas dentro del Órganon («instrumento»), que contiene: Categorías, Sobre la interpretación, Primeros analíticos, Segundos analíticos, Tópicos y Sobre las refutaciones sofísticas.

Las Categorías y Sobre la interpretación tratan el concepto y la proposición, que son el preámbulo de la inferencia; los Primeros analíticos se centra en la teoría de la deducción, en los silogismos; los Segundos analíticos, en la ciencia; los Tópicos, en las reglas prácticas y en los esquemas típicos de demostración, y Sobre las refutaciones sofísticas describe la manera de descubrir los razonamientos falaces, que eran muy habituales entre los sofistas.

Aristóteles enunció además los criterios que diferencian la lógica de otras disciplinas. Así, distinguió entre la analítica y la dialéctica, entre la argumentación científica y la opinión, o entre los razonamientos necesarios y los razonamientos contingentes.

Sin embargo, lo que mejor caracteriza la lógica aristotélica es el estudio exhaustivo de los silogismos –la forma lógica más célebre– y el desarrollo de la lógica modal, que analiza los enunciados a partir de la posibilidad (algo es posible), la necesidad (algo tiene que suceder o ser necesariamente), la imposibilidad (algo es imposible) y la contingencia (algo sucede, pero no es necesario que suceda).

La lógica megárico-estoica

Si bien es cierto que la obra lógica de Aristóteles es la más representativa de la antigüedad, también lo es que los lógicos megáricos y estoicos hicieron una serie de aportaciones muy importantes para el desarrollo de la disciplina hacia el siglo v a.C.

Aunque no se conservan sus obras, se sabe, gracias a referencias y críticas de otros autores, que fueron los primeros lógicos en emplear los conectores y en desarrollar la lógica proposicional.

El origen de la escuela megárica se halla en los estudios de Euclides de Megara, que fue discípulo de Sócrates. Posteriormente, los estoicos utilizaron sus teorías para establecer su propia lógica, que de esta forma se confunde con la megárica.

Dentro de la lógica estoica destaca el establecimiento de cinco reglas de inferencia o «indemostrables», que son las siguientes:

I. Si lo primero, entonces lo segundo; pero lo primero; por tanto, lo segundo.

II. Si lo primero, entonces lo segundo; pero no lo segundo; por tanto, no lo primero.

III. No a la vez lo primero y lo segundo; pero lo primero; por tanto, no lo segundo.

IV. O lo primero o lo segundo; pero lo primero; por tanto, no lo segundo.

V. O lo primero o lo segundo; pero no lo segundo; por tanto, lo primero.

Los primitivos pensadores griegos, como Zenón de Elea, desarrollaron las primeras paradojas lógicas, que comprometían la validez de la lógica clásica.

Como se puede observar en estas reglas, los estoicos se caracterizaron por el empleo de los enunciados hipotéticos o condicionales, así como por la introducción de los disyuntores.

Otra aportación fundamental de la escuela estoica fue el estudio del significado de los signos, que anticipa, en gran medida, la semántica de Frege. Según estos autores, hay que diferenciar entre la voz significante, la cosa a la que se hace referencia, y el significado de la voz, de tal modo que las dos primeras categorías constituyen entes materiales, corpóreos, mientras que la tercera, el significado, es algo incorpóreo que conecta las dos materialidades.

La Edad Media supuso un periodo de esplendor en lo que se refiere a la lógica, ya que los grandes pensadores y santos cristianos quisieron demostrar la coherencia de la Biblia, que había sido traducida por san Jerónimo en el siglo V. La imagen muestra un retrato del santo, obra de Caravaggio.

La lógica medieval

Si la Edad Media supuso en muchos aspectos un retroceso en lo que se refiere al desarrollo de la ciencia o la ontología, la necesidad de demostrar la racionalidad de las Sagradas Escrituras condujo a un nuevo periodo dorado dentro de la historia de la lógica.

De esta forma, mientras la lógica de Aristóteles se centró en establecer la estructura formal de las demostraciones científicas y la lógica contemporánea pretende elaborar una formulación axiomática de los principios de la matemática, la lógica medieval aplicó su esfuerzo a dotar de una coherencia absoluta a la Biblia.

A partir del Renacimiento, gracias en gran medida al desarrollo de las ciencias experimentales, los pensadores, con excepción de Leibniz, empezaron a mostrar un interés más marcado por la inducción, dando la espalda a la lógica clásica. En la imagen, La linterna mágica, obra de Paul Sandby.

Dentro del medievo se suelen distinguir dos periodos en lo que se refiere a la historia de la lógica. Uno interpretativo, que llega hasta el siglo xii e incluye las obras de Boecio (hacia el 470-524) y San Anselmo (1034-1109), y otro creativo, que parte del siglo xii y llega hasta prácticamente la primera época de la Edad Moderna, en el siglo xv.

Dentro del periodo creativo se distinguen otros dos: el dialéctico, en el que se trata de rebatir los razonamientos contra la coherencia de las Escrituras y que incluye la obra de Pedro Abelardo (1079-1142) y Pedro Hispano (1205-1277), y el maduro, en el que se recogen los pensamientos de Avicena (980-1037) y Averroes (1126-1198), deudores del aristotelismo.

Al final del medievo también destacan las reinterpretaciones de la obra de Aristóteles por parte de Guillermo de Ockham (hacia 1285-1349), quien trató el tema de los universales y la relación entre los conceptos y la realidad, y Juan Buridán (1300-1358), autor de diversas teorías y paradojas que influyeron notablemente en los siglos posteriores.

Principales aportaciones de la lógica medieval. Dentro de las aportaciones más reseñables de la lógica medieval destacan la prefiguración de las Leyes de Morgan por parte de Pedro Hispano y el desarrollo por Pseudo Scoto del método de la reducción al absurdo, que consiste en la ley según la cual «de un enunciado cuya contradicción es manifiesta se sigue formalmente cualquier otro enunciado».

Otra teoría elemental dentro de la lógica medieval es la de «la suposición de los términos», que sigue el análisis de Aristóteles aunque prefigura las aportaciones de Frege. Según esta teoría, dentro de un signo hay que distinguir entre lo que éste refiere y lo que significa, entre lo que dice y lo que denota. Así, para los autores medievales una palabra puede hacer referencia a algo externo a ella o a sí misma.

Por ejemplo, en las frases «la rosa es roja» y «rosa es bisílaba» existen dos planos de significación del concepto «rosa». En la primera el referente es externo a la propia palabra, mientras que en la segunda se halla dentro de la propia expresión. Hoy día se dice que en la primera frase se «usa» a la «rosa», mientras que en la segunda se «menciona». Para evitar confusiones, se suele encerrar dentro de unas comillas aquel término que es usado, y no mencionado.

La lógica de la Edad Moderna

En su rechazo frontal a las ideas medievales, los renacentistas sustituyeron el estudio de la obra de Aristóteles por la de Platón, y la lógica se vio reemplazada por el análisis de la retórica y la dialéctica. Pierre de la Ramée criticó el abuso de los silogismos aristotélicos y el enrevesamiento de la lógica escolástica en sus Aristotelicae Animadversiones, y en la Dialectique redujo toda la obra del filósofo de Estagira a una serie de rudimentos que daban cuenta de la decadencia de la lógica moderna.

Por otro lado, Francis Bacon (1561-1626) propuso, en su Novum Organum, una nueva ciencia que ya no dependía epistemológicamente de los viejos sistemas deductivos, basados en la lógica inductiva.

La desconsideración por la lógica clásica y medieval continuó en el siglo xviii a pesar de la diferenciación entre lógica general y lógica trascendental establecida por Immanuel Kant (1724-1804) en su Crítica de la razón pura. Señalada esta distinción, el pensador ilustrado alemán puso todo el peso de su pensamiento sobre la lógica trascendental, que analizaba los procesos del conocimiento desde una perspectiva totalmente ajena a la lógica como ciencia. No en vano, Kant creía que la lógica como disciplina estaba concluida desde los tiempos de Aristóteles.

La lógica simbólica

Aunque sus contemporáneos no estaban preocupados por el desarrollo de nuevos conceptos de lógica, Gottfreid Wilhelm Leibniz (1646-1716) propuso en su juventud una serie de ideas lógicas revolucionarias, que supusieron en gran medida un anticipo de lo que más tarde eclosionaría en los siglos xix y xx. Sin embargo, el desaliento ante la incomprensión de la época y el tamaño de la empresa que se impuso hicieron que el pensador racionalista abandonase sus propuestas para terminar convirtiéndose en uno de los filósofos más importantes en el ámbito de la ontología.

A pesar de que Kant no prestó demasiada atención a la lógica clásica, ya que creía que era una ciencia concluida, sí distinguió entre dos modalidades: una general, referida al funcionamiento ordinario del entendimiento, y otra trascendental, relacionada con la validez del conocimiento.

Cuando sólo contaba veinte años, Leibniz se propuso crear una notación simbólica, similar a la matemática, que permitiese sistematizar y calcular el valor de los razonamientos. Posteriormente recogió estas ideas en su obra De arte combinatoria, que no llegó a desarrollar por hallarse sujeto a otros proyectos y otras obligaciones que sí contaban con el respaldo de sus compañeros.

Leibniz pretendía elaborar un lenguaje universal que tradujese los pensamientos simples a símbolos simples, de tal forma que al combinarlos diesen lugar a otros símbolos y notaciones simbólicas más complejas.

La regla de construcción de estos caracteres, que llamó «característica universal», apareció recogida en Elementos de una característica universal. En esta obra, los símbolos se aplicaban a una relación matemática, que permitía hacer cálculos complejos que representaban pensamientos y argumentaciones. Por ejemplo, si al término «animal» le corresponde el número 2 (o el símbolo «a») y al término «racional» le corresponde el 5 (o el símbolo «r»), entonces el término «hombre» es el producto de multiplicar los dos anteriores (es decir, 10 o «ar»). De esta forma, es posible establecer una correspondencia entre los pensamientos y los números, de tal modo que la proposición «el hombre es un animal racional» se puede simbolizar mediante la ecuación «h = a · r» o «10 = 2 · 5».

Aunque pasó a la historia gracias al racionalismo y a la invención del cálculo infinitesimal, Gottfreid Wilhelm Leibniz fue un precoz y brillante lógico, que se propuso llevar a cabo una formalización completa de la realidad.

Además, Leibniz pretendía sustituir el cálculo de cantidades por el de cualidades, con lo que se podría establecer un discurso objetivo en torno a la realidad que acabase con las disputas entre las distintas disciplinas y ciencias.

La tarea que se había propuesto Leibniz era tan inmensa que estaba irremediablemente destinada al fracaso. Para llevarla a cabo, primero debía elaborar una especie de enciclopedia donde se recogiese todo lo existente con su notación simbólica y su valor numérico. A pesar de su fracaso, la teoría lógica de Leibniz se convertiría en la principal precursora de las poderosas innovaciones del siglo xix, cuando Frege o Boole consiguieran matematizar de forma sistemática la lógica, acercándose a la descripción numérica del mundo.

George Boole (en la imagen) y Gottlob Frege cambiaron definitivamente la historia de la lógica. Ambos emparentaron, aunque de forma opuesta, la lógica con las matemáticas y con los símbolos.

La revolución de Boole y Frege

A partir del siglo xix, los mundos de la lógica y las matemáticas corrieron suertes paralelas. Los nuevos lógicos eran matemáticos que consideraban que existían unas relaciones estrechas entre ambas disciplinas, y centraron todos sus estudios en la elaboración de una nueva lógica simbólica que recogiese estos paralelismos.

Hacia mediados del siglo surgieron dos teorías similares –aunque, en cierto sentido, enfrentadas–, que rompían con el modelo aristotélico para plantear una ciencia lógica exacta, como las matemáticas.

Así, en 1854 se publicó Las leyes del pensamiento, obra revolucionaria del matemático inglés George Boole (1815-1864), y 25 años después apareció la Conceptografía, del matemático alemán Gottlob Frege (1848-1925).

Ambas obras planteaban las relaciones entre el álgebra y la lógica, aunque desde perspectivas completamente distintas. Boole trató de elaborar un «álgebra lógica», es decir, intentó aplicar las leyes de las matemáticas a la lógica; Frege, por su parte, quiso crear una «lógica matemática», o sea, una lógica universal que pudiese servir como base al mundo de las matemáticas.

Aunque ambas propuestas fueron muy importantes dentro de la historia de la lógica y de las matemáticas, finalmente fue la obra de Frege la que tuvo una mayor repercusión en el campo de la filosofía y la historia del pensamiento.

Una de las grandes innovaciones de George Boole fue la de intentar traducir los enunciados a códigos binarios, lo que facilitaba enormemente su formalización.

El álgebra de Boole. El proyecto de Boole de establecer un álgebra lógica partía de una reflexión profunda en torno a las relaciones existentes entre los razonamientos bien construidos o válidos y las operaciones algebraicas más elementales, como la suma y la multiplicación.

Así, según su teoría, había que sustituir la notación de la lógica por la del álgebra, convirtiendo los argumentos simples o las proposiciones categóricas –compuestas por un solo sujeto y un solo predicado– en ecuaciones; los silogismos, por su parte, pasarían a ser sistemas de ecuaciones, que se podrían solucionar a través del empleo sistemático de métodos algebraicos. Las teorías de Boole se basaban, además, en tres importantes y brillantes innovaciones:

  • En primer lugar, era necesario sustituir la notación numérica común (la numeración decimal que va desde el cero hasta el nueve) por una notación binaria (que sólo se basa en el empleo de unos y ceros). Con esta transformación del sistema numérico, Boole consiguió traducir el lenguaje de la lógica al de las matemáticas, haciendo corresponder la suma y la multiplicación con la disyunción y la conjunción.

  • En segundo lugar, para hacer un álgebra lógica Boole consideró que había que interpretar las fórmulas como operaciones de cálculo de proposiciones y como operaciones de cálculo de clases.

  • En tercer y último lugar, el álgebra lógica de Boole representó mediante el «1» y el «0» la verdad y la falsedad en el cálculo de proposiciones, y la totalidad y la nada en el cálculo de clases. Por ejemplo, «ningún hombre es inmortal» es una proposición categórica universal negativa, que en el álgebra lógica se expresaría de la siguiente forma: «xz = 0», donde «x» representa a la clase de los hombres y «z» a la clase de los inmortales. La ecuación significa que la clase «xz» es nula.

Tabla 3. Casi al mismo tiempo George Boole y Gottlob Frege fijaron su interés en las relaciones entre la lógica y el álgebra, aunque el primero quiso ver en los enunciados lógicos una consecuencia del álgebra y el segundo lo contrario.

La lógica de Frege. Si Aristóteles es el padre de la lógica clásica y su obra fue estudiada durante siglos por los más diversos autores, Gottlob Frege representa el origen de la lógica simbólica moderna y a él se deben las innovaciones más relevantes dentro de la historia de la lógica, así como la invención de una nueva teoría de la inferencia.

Sin embargo, el nacimiento de una nueva lógica a partir de la obra de Frege no supuso en absoluto el olvido de los postulados clásicos aristotélicos, ya que éstos pasaron a formar parte de un subgrupo dentro de la nueva ciencia, mucho más amplia y completa. Por otra parte, debe señalarse que el pensamiento de Frege no comenzó a ganar cierta relevancia hasta la llegada del siglo xx, cuando su discípulo Bertrand Russell reconoció que se debían a los estudios realizados por el matemático alemán buena parte de sus aportaciones.

Además, el trabajo de Frege no sólo implicaba una nueva formulación simbólica de la lógica a partir del rigor de las ciencias exactas, sino también un replanteamiento del papel que la disciplina desempeñaba con relación a otras ciencias como la psicología y la epistemología, remontándose al sentido y al alcance de las obras de Aristóteles.

En cualquier caso, la aportación más relevante de Frege a la disciplina fue la introducción de los cuantificadores en la formulación de los enunciados lógicos, lo que permitió hacer frente a un gran número de problemas planteados en la antigüedad y en el medievo que aún no habían sido resueltos de manera efectiva.

Tres son las aportaciones más relevantes de Boole a la lógica simbólica, y todas ellas se centran en la relación entre las proposiciones y los cálculos algebraicos y en la adopción de una simbólica binaria.

La teoría cuantificacional es un método gracias al cual se pueden simbolizar expresiones del tipo «todo», «algún» o «ningún», lo que amplía enormemente la capacidad simbólica de la lógica.

Paralelamente, Frege llevó a cabo una reconversión de la lógica proposicional –ajustándola a la cuantificacional–, axiomatizó la lógica elemental y estableció la distinción entre los axiomas y las reglas de inferencia.

Todas estas innovaciones no sólo abrían un inmenso abanico de posibilidades para la nueva lógica simbólica, sino que además recogían toda la tradición aristotélica y megárica-estoica, que quedaban integradas dentro de un nuevo contexto interpretativo y simbólico.

Las dos obras clave de Frege: Sentido y referencia y Conceptografía. Las dos obras más relevantes de Frege, que incluyen todas estas ideas y otras innovaciones que corrieron peor fortuna, son Sentido y referencia (1872) y Conceptografía (1879). En ambas obras, desde perspectivas distintas, emprendió una tarea similar en esfuerzo y ambición a la que siglos antes imaginó Leibniz.

Frege pensaba que las matemáticas podían reducirse a lógica, o que al menos en ésta se hallaban las leyes elementales a partir de las cuales se podía deducir el comportamiento de aquéllas. Sin embargo, para demostrarlo antes tuvo que construir un nuevo lenguaje artificial, lo que suponía reformular a partir de unos nuevos supuestos toda la lógica tradicional.

Como se puede observar en la imagen, Boole expresa el valor de verdad de los enunciados a través de 1 y 0, reduciendo toda la lógica a los códigos binarios.

Si en Sentido y referencia trató uno de los temas más candentes en la lógica medieval, la relación entre los signos y la realidad, en la Conceptografía emprendió la creación de ese nuevo sistema simbólico que debía describir el funcionamiento de las matemáticas y de las estructuras de la realidad.

Según el pensador y matemático alemán, la ciencia consta de dos tipos de argumentaciones o enunciados, los que se deben a la experiencia y los que dependen exclusivamente de su forma lógica.

En esta nueva lógica simbólica, las matemáticas estaban integradas únicamente por argumentos lógicos formales. Para demostrarlo hubo de transformar las viejas estructuras lógicas y gramaticales con el fin de expresar la relación entre los sujetos y los predicados como si se tratase de funciones.

Según la tradición, los argumentos y los enunciados estaban compuestos por tres elementos: un sujeto, un verbo y un predicado atributivo; de este modo, todos los enunciados debían entenderse a partir del verbo «ser» y de la atribución. Por ejemplo, si un enunciado afirmaba que «la Tierra gira alrededor de sí misma», lo que había que interpretar desde el punto de vista lógico era que «la Tierra es un planeta que gira alrededor de sí mismo».

Sin embargo, la revolución simbólica de Frege partía de la convicción de que no era necesario concebir la existencia de estas tres partículas y de que la relación entre el sujeto y el predicado podía y debía expresarse como si se tratase de una función matemática.

De esta manera, para la lógica simbólica «la Tierra» es el argumento y «gira alrededor de sí misma» es el predicado, con lo que el enunciado puede formalizarse como «Fx», donde «x» sería «la Tierra» y «F» simbolizaría «gira en torno a sí misma».

Esta innovación venía acompañada de una nueva notación o simbolización bidimensional, en la que destacaban dos elementos fundamentales: unos nexos de inferencia, representados por líneas, y un contenido conceptual, representado mediante letras.

El logicismo. Toda esta tarea respondía en último término a un ambicioso proyecto que se puede resumir bajo el rótulo del logicismo, que consistía en reducir las matemáticas a la lógica, derivando los principios, los conceptos y los teoremas básicos de aquéllas a los principios, los conceptos y los teoremas elementales de ésta.

El logicismo, que luego fue continuado por importantes autores contemporáneos como Bertrand Russell (1872-1970), se oponía frontalmente tanto al álgebra lógica de Boole, que pretendía reducir la lógica a los rudimentos de las matemáticas, como a la concepción moderna clásica de la lógica, representada por Immanuel Kant y John Stuart Mill.

Para el primero, las matemáticas eran entidades sintéticas a priori, lo que quiere decir que eran necesariamente verdaderas pero mantenían ciertos vínculos con la realidad y aportaban un conocimiento nuevo; para el segundo, las matemáticas presentaban verdades sintéticas, que dependían directamente de la experiencia.

Lo que Frege pretendía con su logicismo, en cambio, era integrar el mundo de los números dentro de una esfera analítica, completamente formal, que no tocaba el campo de la experiencia, lo que permitía en consecuencia definir las matemáticas a partir de unos cuantos principios lógicos elementales.

Frege emprendió esta magna tarea en la que estaba destinada a ser su obra más ambiciosa y definitiva: Los fundamentos de la aritmética. Sin embargo, una vez publicado el primer volumen, el matemático alemán se encontró con un contratiempo que no fue capaz de superar: un joven lógico, Bertrand Russell, le mandó una carta en la que le explicaba la paradoja de las clases, un argumento que demostraba la imposibilidad de llevar hasta sus últimas consecuencias el programa logicista.

La paradoja de Russell. Bertrand Russell fue uno de los pensadores más relevantes y complejos de la pasada centuria. Acérrimo defensor del logicismo en un principio, al final fue el lógico que acabó, en cierta medida, con el ideal de una nueva lógica que pudiese dar cuenta de las matemáticas. Por otro lado, cuando ya era considerado como uno de los lógicos más importantes de la historia, decidió abandonar el cultivo de la disciplina para dedicarse al pensamiento político y ético, conmovido, sin duda, por lo que había sucedido en el mundo durante la Primera Guerra Mundial.

En su juventud, cuando aún creía en el proyecto logicista, Russell se familiarizó no sólo con las nuevas ideas de Frege, sino también con otras vías simbólicas, como las presentadas por Giuseppe Peano en el Congreso Internacional de Filosofía de París de 1900. Para el pensador inglés, la propuesta simbólica de Peano era mucho más intuitiva y manejable que la de Frege, por lo que se adscribió a ella con rapidez.

Mientras el lógico alemán desarrollaba la conversión de la matemática a la lógica, de forma paralela Russell, junto con Alfred Whitehead, trabajaba en el mismo proyecto aunque desde una perspectiva distinta, alentada por la simbología de Peano. Por ello, antes de que Frege publicase la segunda parte de Los fundamentos de la aritmética, Russell halló en el nuevo sistema lógico una anomalía que podía acabar con el proyecto logicista, una paradoja que demostraba la inviabilidad de las pretensiones del viejo maestro. Cuando Frege leyó la carta de Russell contestó que «la aritmética se tambaleaba».

La paradoja de las clases consiste, a grandes rasgos, en lo siguiente. Primero debe concebirse la existencia del concepto de clase, es decir, una categoría dentro de la cual se pueden agrupar unos elementos que comparten alguna clase de propiedad, como la clase de los perros o la clase de los hombres.

A continuación debe imaginarse la existencia de una clase de clases, esto es, un grupo dentro del cual se puede meter otro grupo. En este caso, por ejemplo, la clase de los animales incluye tanto a la subclase de los perros como a la de los hombres.

La mayoría de las clases no son miembros de sí mismas, de tal forma que la clase de los perros no es un perro y la clase de los hombres no es un hombre. Sin embargo, existen algunas clases que son miembros de sí mismas, como es la clase de todas las clases, que es una clase, o la clase de todos los conceptos, que es, a su vez, un concepto.

Ahora bien, si se considera «la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas», clase que se conoce como «clase de Russell» o «R», se llega a una paradoja determinante: «R» es un miembro de sí misma si y sólo si no es un miembro de sí misma.

Para solucionar la paradoja, Bertrand Russell elaboró lo que se conoce como la teoría de los tipos, que consiste en distinguir la existencia de diversos planos lingüísticos que se van superponiendo. De esta forma, al reconocer la existencia de distintos planos de significación se acaba con las paradojas. En cualquier caso, la paradoja de Russell ponía freno al modelo logicista de Frege y abría considerablemente el ámbito de desarrollo de la lógica.

Ludwig Wittgenstein y el fin del programa logicista clásico. Heredero a su vez de las obras de Frege y Russell, Ludwig Wittgenstein (1889-1951), considerado el autor más representativo de la lógica contemporánea, modificó definitivamente el alcance del proyecto simbólico emprendido en el siglo xix.

Si Bertrand Russell, alumno de Frege, acabó en gran medida con la validez de los planteamientos de su maestro, Ludwig Wittgenstein (en la imagen), que era a su vez discípulo de Russell, demostró la vanidad del logicismo rompiendo la relación entre la lógica y el mundo.

En una serie de breves sentencias aparecidas en su obra Tractatus logico-philosophicus, Wittgenstein acabó en gran medida con las pretensiones logicistas de sus predecesores al demostrar cómo la lógica sólo está compuesta por tautologías, por enunciados que se refieren a sí mismos, y que en consecuencia jamás hablan del mundo en tanto que tal, sino sólo de su estructura lógica. De ahí que llegara a afirmar que «la lógica no dice nada del mundo».

Después de la edición del Tractatus, Wittgenstein abandonó el mundo de la filosofía y de la lógica para dedicarse a labores tan dispares como la jardinería o la enseñanza elemental. Varios años más tarde volvió a escribir libros de lógica, aunque desde una perspectiva completamente novedosa, alejada del logicismo y de los estudios de sus maestros, dando lugar a una pragmática que define los lenguajes como juegos, como herramientas que sólo adquieren sentido dentro de unas circunstancias determinantes.

De esta forma, el llamado «segundo Wittgenstein» cuestionó todo el proyecto neopositivista y lo rebajó a una empresa humilde, negando que el científico fuese el lenguaje que mejor se ajustaba a la realidad. Para el nuevo Wittgenstein «no existen lenguajes privilegiados o más cercanos a la verdad, de tal modo que hay que comprender el mundo del lenguaje como un universo lleno de realidades paralelas que no son conmensurables, que son completamente heterogéneas y que se deben al uso».

Análisis de textos

Immanuel Kant: –Crítica de la razón pura

Que la lógica ha tomado este camino seguro [de la ciencia] desde los tiempos más antiguos es algo que puede inferirse del hecho de que no ha necesitado dar ningún paso atrás desde Aristóteles, salvo que se quieran considerar como correcciones la supresión de ciertas sutilezas o la clarificación de lo expuesto, aspectos que afectan a la elegancia más que a la certeza de la ciencia. Lo curioso de la lógica es que tampoco haya sido capaz, hasta hoy, de avanzar un solo paso. Según todas las apariencias se halla, pues, definitivamente concluida.

Texto 1. Immanuel Kant, al igual que otros muchos autores de la edad moderna, consideraba que la lógica estaba concluida desde la obra de Aristóteles, puesto que parecía no tener nada nuevo que aportar.

Aristóteles: –Sobre las refutaciones sofísticas

En cuanto a este estudio, en cambio, no es que una parte estuviera previamente elaborada y otra no, sino que no había nada en absoluto [...]. Sobre las cuestiones de retórica existían ya muchos y antiguos escritos, mientras que sobre el razonar no teníamos absolutamente nada anterior que citar, sino que hemos debido afanarnos empleando mucho tiempo en investigar con gran esfuerzo.

Texto 2. Aristóteles se consideró a sí mismo como el fundador de la lógica, lo que puede comprobarse en este texto del final de una de sus primeras obras.

Lewis Carroll: –Al otro lado del espejo

—Está usted triste —dijo el Caballero con tono de ansiedad—. Permítame que le cante una canción para reconfortarle.

—¿Es muy larga? —preguntó Alicia, que ya había escuchado mucha poesía ese día.

—Es larga —dijo el Caballero—, pero es muy, muy hermosa. Todo el que me la oye cantar, o bien se le llenan los ojos de lágrimas, o bien...

—¿O bien qué? —dijo Alicia al ver que el Caballero había hecho repentinamente una pausa.

—... o bien no se le llenan los ojos de lágrimas.

Texto 3. Una tautología es un enunciado que siempre es verdadero, con independencia de los valores de verdad de sus componentes. Este texto de Al otro lado del espejo, de Lewis Carroll, muestra la propiedad básica de las tautologías: siendo siempre verdaderas, no aportan información alguna.