Lógica proposicional

    La lógica proposicional, también conocida como lógica de enunciados, constituye la forma más elemental y básica de lógica, y suministra los rudimentos para llevar a cabo los cálculos lógicos y las formalizaciones del lenguaje más simples. Conviene recordar antes de comenzar su estudio que la lógica supone tanto una forma de cálculo (que trata de determinar la verdad y la falsedad de los enunciados), como una simbolización del lenguaje ordinario (que transforma la gramática común en una gramática especializada). Por tanto, junto a la lógica proposicional hay que situar otras formas de lógica que son mucho más avanzadas y precisas, que dan cuenta de matices sutiles que la lógica de enunciados no es capaz de tratar.

    A grandes rasgos, la lógica proposicional funciona a partir de la distinción entre dos elementos gramaticales y simbólicos básicos: de un lado las oraciones, que son tomadas íntegramente, sin atender a las partículas que las componen; del otro los conectores, es decir, todos aquellos elementos que sirven para establecer una conexión entre las distintas oraciones simples.

    En consecuencia, al tomar las oraciones en bloque, sin detenerse en sus matices y particularidades, la lógica proposicional no llega a analizar la estructura interna de las frases, y toma como equivalentes expresiones que en el lenguaje ordinario no tienen nada que ver, como «la felicidad es buena» y «las rosas aún no han florecido». Ésta es una de las razones por las que se considera que el estudio de la lógica de enunciados es el idóneo para introducirse en la comprensión del mundo de la lógica.

    Símbolos y valores de verdad

    La lógica proposicional parte de la transformación de la gramática ordinaria en una nueva gramática simbólica, que sustituye las oraciones en bloque y sus relaciones por símbolos elementales, que pueden ser de dos tipos: variables y conectores.

    La simbolización del lenguaje ordinario se lleva a cabo a través de unas variables, que representan enunciados completos, y unas constantes que expresan la relación lógica existente entre ellas.

    Las variables

    Si una proposición es un enunciado completo, con sentido pleno, una variable es una letra que sirve para representarla. Estas letras reciben el nombre de variables porque pueden representar frases completamente distintas y no tienen un significado fijo. Además, debe tenerse en cuenta que las variables no describen la estructura interna de las frases, y sólo se quedan en la superficie de las oraciones, tomándolas por entero.

    Tabla 1. Según el número de variables, el valor de verdad de un enunciado, que se expresa con «1» y «0» o «V» y «F», se multiplica exponencialmente. Así, si hay 3 variables, los valores de verdad («1» o «0») se calculan elevando 2 a 3.

    Es una práctica habitual utilizar como variables las letras p, q, r, s, t, etc., las cuales pueden representar oraciones elementales, como «amanece», o frases más complejas, como «amanece el día en la ciudad llena de coches e historias incompletas».

    La lógica proposicional sólo se ocupa de aquellas expresiones que son susceptibles de ser verdaderas o falsas, dejando a un lado las oraciones que no pueden ser verificadas o que expresan ruegos u órdenes. Por esta razón se dice que la lógica proposicional es bivalente, en el sentido en que las oraciones sólo pueden tener dos valores: o son verdaderas o son falsas, sin admitir la incertidumbre o la ausencia de atribuciones.

    En cuanto a la simbólica proposicional, el enunciado p tiene que ser necesariamente verdadero, lo que se expresa mediante una «V» o un «1», o falso, que se transcribe como «F» o «0» según el modelo que se adopte. Partiendo de la base de que un enunciado posee dos valores de verdad, la relación entre dos enunciados debe tener el doble, es decir, cuatro; la relación entre tres, ocho, y así sucesivamente, de tal modo que dado un número n de enunciados, el número de combinaciones posibles de sus valores de verdad será el de 2 elevado a n: 2n.

    Los conectores

    Si las variables se emplean en la lógica proposicional para representar oraciones completas, los conectores son los signos que se usan para establecer y expresar las conexiones y las relaciones existentes entre dos o más enunciados.

    A pesar de que el valor de los conectores es muy aproximado al de las distintas conjunciones del lenguaje ordinario, debe señalarse la existencia de una serie de peculiaridades que determinan en gran medida el cálculo de los valores de verdad de los enunciados, por lo que se recomienda una consideración pormenorizada de cada uno de ellos.

    El negador. El negador, que se expresa con diversos símbolos, como « » o « », es un conector que expresa la negación implícita o explícita de uno o varios enunciados, por lo que se emplea tanto en oraciones del estilo de «el ser humano no es inmortal», como en oraciones de la clase «ese plan es inviable».

    Tabla 2. La conectiva de la negación se expresa con esta tabla de verdad, que indica en qué casos es verdadera y supone, en definitiva, su definición.

    En el cálculo del lenguaje proposicional, el negador, que significa «no p», permite convertir una frase verdadera en falsa y una frase falsa en verdadera. Por otra parte, cuando se juntan dos negadores se produce la afirmación de la oración a la que antecede el negador.

    El conjuntor. En la simbología proposicional el conjuntor, que se representa con « », suele emplearse para sustituir a la conjunción copulativa «y», aunque también sirve para expresar la unión entre oraciones que en la gramática ordinaria aparecen separadas por comas, como las enumeraciones. Así, la expresión o fórmula proposicional p q sirve para representar tanto «Juan y Pedro entraron en casa» como «Juan entró en casa, Pedro salió de ella».

    Tabla 3. Las tablas de verdad de la conjunción varían dependiendo de la cantidad de variables a las que afecten. En el ejemplo de arriba se puede observar cómo actúan sobre dos y tres variables distintas.

    Cada uno de los enunciados que forma parte de una conjunción se conoce como enunciado atómico, puesto que no puede ser dividido en partículas más pequeñas, y al unirse a otro enunciado atómico a través de la conjunción u otras conectivas da lugar a lo que se conoce, según la terminología creada por Bertrand Russell, como un enunciado molecular o compuesto. A este respecto, debe tenerse presente que el negador jamás origina un enunciado molecular.

    En lo que se refiere al valor de verdad de las oraciones que se ven afectadas por un conjuntor, el cálculo proposicional establece que para que el enunciado molecular resultante sea verdadero es necesario que cada una de las oraciones atómicas que lo componen también sean verdaderas, de tal modo que todas las demás posibles combinaciones dan lugar a un enunciado molecular falso. Por ejemplo, «Juan tiene seis años y Pedro tiene ocho» sólo será un enunciado verdadero si es cierto que Juan tiene seis años y Pedro ocho.

    Las tablas de verdad. Antes de comentar los restantes conectores del lenguaje proposicional conviene tratar las tablas de verdad, que permiten saber de una forma sistemática y mecánica cómo funciona cada conector y cómo se establece el valor de verdad de cada uno de los enunciados que componen una oración molecular.

    Para construir una tabla de verdad, por ejemplo para la fórmula de la lógica proposicional p q, es necesario seguir los siguientes pasos:

    • En primer lugar se calcula el número de filas que tendrá la tabla, teniendo en cuenta el número de variables que intervienen en la fórmula (en este caso dos: p y q) y la ley antes descrita según la cual los valores de verdad de suman exponencialmente: 2n (en el caso de p q 2n), que son cuatro.

    • A continuación se escriben las variables (p y q en este caso) y se rellena la primera columna que se encuentra a la derecha, alternando los valores 1 y 0 hasta completar todas las filas de la columna (como en este caso hay cuatro filas, hay que escribir cuatro valores).

    • Luego se rellenan las demás columnas de las variables (que en este caso sólo es una) duplicando el número de veces que se repite el valor (aquí 1, 1, 0, 0, ... y si hubiera una tercera columna: 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, ...).

    • Cuando ya se han establecido las columnas con los posibles valores de verdad (que son indicativos y sirven para calcular el producto del conector), se elaboran las columnas intermedias. En estas columnas deben aparecer aquellas variables que se ven influidas por alguna clase de conector, que en este caso sería la negación, q, que daría lugar a la inversión de los valores asignados inicialmente a q.

    • Por último, en la columna final se escriben los valores que resultan al aplicar todos los conectores existentes en la fórmula al valor de las variables, de tal modo que se describirían todos los valores posibles de la fórmula atendiendo a los valores posibles iniciales y a cómo se transforman éstos cuando caen bajo la influencia de los conectores (en este caso, la negación y la conjunción).

    Tabla 4. Las tablas de verdad expresan de manera ordenada y precisa qué valor de verdad tiene cada una de las variables y cómo las conectivas establecen nuevas relaciones y valores.

    Tabla 5. Tabla de verdad de la disyunción.

    Tabla 6. Ejemplo del valor de verdad de expresiones donde aparecen el negador y el disyuntor.

    Tabla 7. Otro ejemplo del valor de verdad de expresiones donde aparecen el negador y el disyuntor.

    El disyuntor. De nuevo en los conectores, dentro de la lógica de enunciados el disyuntor se representa como « », y su correspondencia con el lenguaje ordinario es un poco más compleja que la del resto de conectores.

    La disyunción lógica proposicional hace referencia a la disyunción ordinaria «o», pero sólo en su sentido no excluyente o inclusivo. El sentido excluyente de una disyunción se produce cuando de las posibilidades que aparecen enlazadas por el disyuntor sólo es válida una. Por ejemplo, en el enunciado molecular «vivir o morir» es necesario que una de las dos sea verdadera y la otra falsa, y es imposible que las dos posibilidades se den unánimemente.

    En su sentido no excluyente, la disyunción presenta dos alternativas que son igualmente válidas. Por ejemplo, en la oración «se buscan licenciados que sepan francés o italiano» es posible saber los dos idiomas y no caer en ninguna clase de contradicción.

    Así pues, la lógica proposicional sólo considera la disyunción desde un punto de vista no excluyente, por lo que los valores de verdad de la conectiva son verdaderos siempre y cuando ambos o sólo uno de los enunciados moleculares sea verdadero. Por el contrario, el valor de verdad de la disyunción será falso o 0 cuando los dos enunciados atómicos también lo sean.

    Por otro lado, cuando el sentido de la disyunción que se quiere simbolizar a través de la lógica proposicional sea excluyente, hay que indicarlo ayudándose de la conjunción, tal y como se representa en la siguiente fórmula: (p q) (p q), que quiere decir que no es posible que se den a la vez las dos alternativas. Como se puede observar en la fórmula, el empleo de los paréntesis en la lógica es muy importante, ya que sirven para indicar cuáles son las variables que se ven afectadas por los conectores.

    El condicional. El condicional, que se representa con una flecha ( ) intercalada entre las variables afectadas por el conector, se emplea para formalizar expresiones condicionales del tipo «si Dios ha muerto, todo está permitido», que se expresaría así: p q.

    En este tipo de fórmulas, la variable que aparece a la izquierda del conector se llama antecedente, y la que está a la derecha, consecuente. Aunque es posible encontrar en el lenguaje ordinario expresiones en las que el antecedente aparece después del consecuente (por ejemplo en «Dios obra del modo más perfecto, puesto que posee la sabiduría suprema e infinita»), en la lógica proposicional siempre se deben colocar las variables en el orden antes señalado, a pesar de que representen una oración compuesta en la que se invierten las posiciones.

    En lo que se refiere al valor de verdad de la conectiva del condicional, ésta es siempre verdadera a no ser que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Por ejemplo, la oración compuesta condicional «si vienes a mi casa te daré el dinero que te debo» será siempre verdadera salvo en el caso en que vengas a mi casa y no te dé el dinero.

    Puede resultar sorprendente que se consideren como verdaderas aquellas condicionales en las que el antecedente sea falso, ya que carecería de sentido hablar de una implicación o una consecuencia lógica allí donde no se produce un hecho. Sin embargo, conviene recordar que la lógica proposicional se caracteriza por ser bivalente, por definirse siempre a partir de la existencia de la verdad y la falsedad.

    Tabla 8. Ejemplo del valor de verdad donde aparecen a la vez la conjunción y la disyunción.

    Por otra parte, el condicional descrito no se basa en la condición necesaria, sino en la condición suficiente. En otras palabras: se dice bajo qué condiciones puede producirse lo que se describe en el consecuente, pero no se dice que estas condiciones deban producirse forzosamente, lo que supone que se admiten otras condiciones, otras circunstancias y otras posibilidades que conduzcan a lo que se describe en aquél.

    La diferencia entre condición necesaria y condición suficiente se puede comprender con el siguiente ejemplo: para aprobar una asignatura la asistencia a clase puede ser condición necesaria pero no condición suficiente, en cuanto que la ausencia a las clases implica la pérdida de derecho a examinarse, pero la asistencia no supone sin más aprobar la asignatura.

    Tabla 9. Tabla de verdad del condicional.

    Tabla 10. Ejemplo del valor de verdad donde aparecen la negación, la conjunción, la disyunción y el condicional.

    Si se piensa en el razonamiento «si hay examen, entonces seguro que suspendo» y se considera la posibilidad de que pueda no haber examen y, no obstante, se pueda suspender también por no haber entregado el trabajo de investigación que era requisito para aprobar la asignatura, se entiende cómo puede ser válido un razonamiento condicional cuyo antecedente es falso y cuyo consecuente es verdadero.

    Tabla 11. Tabla de verdad del bicondicional.

    Tabla 12. Ejemplo del valor de verdad donde aparecen las cinco conectivas.

    El bicondicional. Si el condicional se basa en una relación no necesaria entre el antecedente y el consecuente, el bicondicional consiste, precisamente, en la representación de la relación necesaria entre dos variables, de tal modo que ya no se trata de que «si p, entonces q», sino de que «si y sólo si p, entonces q».

    El bicondicional se representa con el símbolo , e implica que si p conduce necesariamente a q, entonces q conduce necesariamente a la afirmación de p. De esta forma, el bicondicional supone una coimplicación, ya que las dos variables se implican necesariamente la una a la otra. Así, la relación necesaria entre los dos elementos que componen una coimplicación supone exactamente lo mismo que afirmar lo siguiente: (p q) (q p).

    Los conectores siempre se comportan de la misma manera, aunque hay que tener en cuenta el contexto en el que operan. En el presente cuadro se expresa de manera simplificada su valor de verdad.

    Las reglas de formación

    Para completar el análisis de la lógica proposicional, junto a las variables y a los conectores debe señalarse la existencia de unas reglas o normas de formación o construcción, que son las que permiten saber qué combinaciones de símbolos son las correctas, las válidas. Así, una expresión como la siguiente: q r, p q y p q r p q p r no es correcta, ya que aparecen dos conectores juntos sin que se determine cuáles son las variables a las que afectan.

    Los símbolos auxiliares, como los paréntesis y los corchetes, permiten expresar cuáles son las variables que se ven afectadas por cada conectiva, lo que posibilita distinguir entre dos expresiones como las siguientes: p q y (p q).

    En el primer caso, la fórmula supone una negación de cada una de las proposiciones atómicas que forman el enunciado conjuntivo, como en «Juan no come y Pedro no bebe»; en el segundo caso, la negación afecta a la conjunción misma, y representaría una oración completamente distinta: «no es cierto que Juan coma y Pedro beba».

    Por otro lado, además de los símbolos auxiliares también existen unas reglas jerárquicas que sirven para saber cuáles son los conectores que tienen un mayor alcance o una mayor predominancia dentro de una fórmula proposicional. De mayor a menor predominancia, las conectivas son las siguientes: y , , de tal modo que la fórmula p equivale a esta otra fórmula: p (q r).

    Tautologías, contradicciones y expresiones consistentes

    La lógica se define como la ciencia de las inferencias correctas, lo que quiere decir que su objetivo es saber qué razonamientos son válidos a través de una formalización y un cálculo de los valores de verdad. De esta forma, la lógica proposicional formaliza los enunciados para conocer el valor de verdad aplicando las tablas antes descritas.

    Por ejemplo, para saber si las siguientes fórmulas:

    son válidas habría que aplicar todo lo antes expuesto acerca de los conectores, las variables y las tablas de verdad (v. tabla 13).

    Tabla 13. Tablas de verdad.

    Tabla 13. Tablas de verdad.

    Tabla 13. Tablas de verdad.

    Como se puede observar en las tablas de verdad, las tres fórmulas iniciales corresponden a tres tipos básicos de inferencia: las tautologías, las contradicciones y los enunciados consistentes.

    Las tautologías son aquellas inferencias que siempre son verdaderas, y suponen leyes o esquemas universales que expresan la corrección del razonamiento. Las contradicciones son aquellos razonamientos que siempre dan el valor de falsedad (0) en las tablas de verdad, y los enunciados consistentes son aquellos razonamientos que son verdaderos al menos en un caso de los presentados en la tabla de verdad.

    Deducción natural

    La deducción natural es un método compuesto por una serie de reglas que sirve para demostrar la verdad o la falsedad de un razonamiento cualquiera. Se suele emplear para abreviar el método descrito en las tablas de verdad, y cuenta con la ventaja de que es capaz de describir la verdad o la falsedad de una argumentación sin necesidad de hacer listas interminables con variables y conectores.

    Además, la deducción natural no sólo dice si un razonamiento es verdadero o falso, como sucede con las tablas de verdad, sino que además puede indicar la razón por la que esto sucede y en qué momento se produce un error deductivo.

    Así, el lenguaje natural, al igual que el lógico, se basa en la existencia de una serie de reglas gramaticales y deductivas que permiten mantener argumentos con coherencia, aunque estas reglas se aplican de manera inconsciente, por lo que es habitual que se produzcan errores.

    Si se quisiese saber el valor de verdad de las argumentaciones ordinarias habría que desarrollar unas tablas de verdad casi infinitas, con un número muy elevado de variables y constantes, por lo que es mucho más fácil y lógico emplear la deducción natural, que al aplicar unos patrones y unas estructuras básicas determina con mucha mayor rapidez y precisión la posible verdad o falsedad de los razonamientos.

    La lógica proposicional, por tanto, puede terminar entendiéndose como un método eficaz para evidenciar o hacer patentes las reglas lógicas que se aplican en la vida y en el lenguaje cotidianos.

    Las reglas de inferencia que se emplean en la deducción natural son tautologías, es decir, estructuras perfectas equivalentes entre sí. Así, existe un número infinito de leyes, de la misma manera que se puede establecer un número infinito de tautologías.

    Sin embargo, dentro de la deducción natural se suelen distinguir unas leyes básicas, desarrolladas en un momento histórico determinado, a partir de las cuales, gracias a los cálculos y a las equivalencias, se pueden derivar todas las demás.

    La regla, al ser una instrucción para inferir correctamente, es una expresión metalingüística (un lenguaje que dice algo del «lenguaje» de la lógica). Por ello se puede expresar con el lenguaje ordinario y se esquematiza empleando una simbolización diversa.

    Procedimiento para demostrar la validez formal de un razonamiento

    La deducción natural es un procedimiento que demuestra la validez o la invalidez de una argumentación a partir de la comparación de enunciados, tomando como base unas leyes o estructuras elementales. Para poder aplicar estas leyes, primero es necesario formalizar el lenguaje, transformarlo en símbolos lógicos para que dé lugar a fórmulas proposicionales.

    No existe un método mecánico que permita transformar las oraciones del lenguaje ordinario en proposiciones lógicas simbólicas, pero si se estudian las diversas conectivas y el comportamiento de las variables bajo todas sus circunstancias resulta mucho más sencillo.

    Por otra parte, debe tenerse en cuenta que el lógico es un lenguaje artificial que, como todos los lenguajes artificiales, requiere dedicación y mucha paciencia, de tal modo que cuantas más oraciones se intenten formalizar, antes se conseguirá un manejo preciso del lenguaje proposicional.

    Es aconsejable empezar por otorgarle a cada proposición del lenguaje ordinario una variable (p, q, r...), fijándose en que la oración que se quiere simbolizar sea completa, tenga un sentido autónomo y pleno y conste de un sujeto, un verbo y, ocasionalmente, un predicado.

    Lo mejor para identificar una oración completa que se pueda sustituir por una sola variable es buscar los verbos, aunque hay que tener en cuenta que a veces éstos pueden estar ausentes, ser elípticos. Veamos un ejemplo:

    • «Ni el nacionalismo ni el bolchevismo llegaron a proclamar una nueva forma de gobierno o afirmaron que sus objetivos habían quedado logrados con la conquista del poder y el control de la maquinaria del Estado.»

    En esta frase de Hannah Arendt hay cuatro proposiciones diferentes, que son las siguientes:

    1. «El nacionalismo no llegó a proclamar una nueva forma de gobierno.»

    2. «El bolchevismo no llegó a proclamar una nueva forma de gobierno.»

    3. «El nacionalismo no afirmó que sus objetivos habían quedado logrados con la conquista del poder y el control de la maquinaria del Estado.»

    4. «El bolchevismo no afirmó que sus objetivos habían quedado logrados con la conquista del poder y el control de la maquinaria del Estado.»

    Además, a la hora de formalizar un enunciado debe recordarse lo ya explicado con anterioridad, como que los nexos copulativos no tienen por qué ser necesariamente «y», que la disyunción no es excluyente, que las implicaciones pueden no ser explícitas o que la negación tampoco tiene por qué aparecer de forma clara en la frase.

    Después de formalizar los enunciados hay que señalar cuáles son las premisas y situarlas al principio, acompañadas de guiones; a continuación se deben buscar cuáles son las reglas de inferencia que se están aplicando.

    Podría suceder, no obstante, que al buscar alguna ley de inferencia no se encontrase ninguna concreta y no se supiera con seguridad si se estaba aplicando alguna ley desconocida o si, sencillamente, se trataba de una inferencia no válida. En estos casos, y hasta no controlar completamente la deducción natural, lo más aconsejable es hacer una tabla de verdad para asegurarse de que se trata de un razonamiento correcto.

    Por último, arriba, a la derecha, junto a las premisas se coloca la conclusión a la que se quiere llegar, siempre precedida por el símbolo « », que se llama «deductor» y se lee como «da lugar a...». Para llegar a la conclusión que aparece junto al deductor deben aplicarse las leyes propias de la deducción natural, entre las que destacan las que se analizan a continuación.

    La regla de simplificación.

    Regla de eliminación del conjuntor o regla de simplificación. Según esta regla (que, como todas, se basa en un silogismo), en una estructura perfecta, cuando se posee una fórmula con una conjunción se pueden deducir por separado cualesquiera de las proposiciones que la forman.

    Regla de introducción del disyuntor o regla de adición. La regla de introducción del disyuntor, que también se conoce como regla de adición, permite colocar junto a una premisa otra premisa cualquiera, acompañada por el disyuntor.

    La regla de adición.

    Esto es posible porque, como ya se ha indicado, la disyunción en la lógica proposicional es no excluyente, lo que supone que si se añade otra fórmula completamente distinta a la ya existente, acompañada por el disyuntor, no varía en absoluto el valor de verdad de la expresión original.

    La introducción del disyuntor permite que se realicen nuevas operaciones y se establezcan nuevas relaciones lógicas, por lo que es una regla sumamente útil dentro de la deducción natural.

    Regla de la doble negación. Según la regla de la doble negación, cuando se tiene una premisa cualquiera se puede introducir una doble negación; y cuando se tiene una premisa que se niega dos veces se pueden quitar los negadores.

    La regla de la doble negación.

    Como sucede con la regla anterior (y con todas las reglas), el que se añadan o quiten dobles negaciones no altera en absoluto el valor de verdad de las premisas, ya que, en la lógica proposicional, negar dos veces equivale a afirmar.

    Regla de introducción del conjuntor o regla de adjunción. La regla de introducción del conjuntor o de adjunción permite introducir entre dos proposiciones cualesquiera una conjunción.

    La regla de conjunción o adjunción.

    Regla de eliminación del condicional o modus ponendo ponens. El modus ponendo ponens es una de las reglas de inferencia más empleadas en el mundo de la lógica proposicional y tiene su origen en la labor de los lógicos medievales. La regla permite eliminar el condicional de una fórmula gracias al empleo de la deducción.

    La regla modus ponendo ponens.

    Así, si se tiene como premisa un condicional del tipo p q y se cuenta además con la premisa p, se deduce lo afirmado por el antecedente, con lo que se elimina el condicional y sólo queda la q. Es decir, si el condicional se basa en un antecedente y un consecuente y se afirma que éste se sigue de aquél, si se posee el dato de que el antecedente se da efectivamente, entonces se puede afirmar el consecuente de forma independiente al condicional.

    Reglas de eliminación e introducción del bicondicional. Según las reglas de eliminación e introducción del bicondicional, cuando se posee una premisa bicondicional se pueden deducir las dos proposiciones condicionales que la forman, así como la conjunción de ambas.

    Las reglas las proposiciones bicondicionales.

    Del mismo modo, si se tienen dos premisas condicionales cuyos antecedentes y consecuentes son las mismas fórmulas intercambiadas, se puede deducir un bicondicional formado por ambas fórmulas.

    Como se puede observar, esta regla no es en realidad sino un mero desarrollo de las propiedades de los bicondicionales, que ya se explicaron con anterioridad.

    Regla modus tollendo ponens. La regla modus tollendo ponens, que fue desarrollada por los lógicos medievales al igual que la del modus ponendo ponens, enuncia que de una disyunción en la que se niega una de las partículas se puede afirmar la otra. Por ejemplo, si se tiene como premisa p q y se niega p, entonces se puede afirmar q.

    La regla modus tollendo ponens.

    La regla del silogismo hipotético.

    Regla de transitividad o del silogismo hipotético. La regla de transitividad, también conocida como la regla del silogismo hipotético, afirma que si se tienen como premisas dos fórmulas condicionales en las que el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, se puede deducir una nueva forma condicional con el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda.

    Reglas conmutativas. Las reglas conmutativas permiten cambiar el orden de los miembros que integran una premisa conjuntiva o disyuntiva, de tal modo que si se tiene pq se puede escribir q p, y si se tiene como premisa p q, se puede escribir q p.

    Las reglas conmutativas.

    Regla modus tollendo tollens. La regla modus tollendo tollens, también desarrollada por los lógicos medievales, sirve para describir el comportamiento de aquellas inferencias en las que el consecuente que viene precedido por un antecedente es negado. Así, si se posee p q y se sabe que q, entonces se puede deducir que p. Es decir, la negación del consecuente supone la negación del antecedente.

    La regla modus tollendo tollens.

    Regla del silogismo disyuntivo y regla de la simplificación disyuntiva. La regla del silogismo disyuntivo, que se aplica cuando se poseen como premisas una disyunción y dos condicionales cuyos antecedentes son los mismos que aparecen en la disyunción, permite deducir la disyunción de los componentes de los condicionales.

    La regla de la simplificación disyuntiva, por su parte, permite deducir de una premisa disyuntiva cuyos dos miembros son idénticos ese mismo miembro.

    Regla del teorema de deducción. También conocida como la regla de introducción del condicional, el teorema de deducción parte del hecho de que si se ha conseguido establecer que una proposición determinada es consecuencia de una hipótesis concreta, entonces se puede establecer un condicional o una implicación que tenga por antecedente a la hipótesis y por consecuente a la otra proposición que se deduce a partir de ella.

    Las reglas del silogismo disyuntivo y la simplificación disyuntiva.

    La regla del teorema de deducción.

    La regla del teorema de deducción es especialmente útil cuando la fórmula a la que se quiere llegar es un condicional.

    Las reglas de De Morgan.

    La reducción al absurdo.

    Reglas de De Morgan. Aunque estas reglas fueron inventadas por el lógico y matemático inglés Augustus de Morgan hacia mediados del siglo XIX, algunos pensadores antiguos y medievales ya las habían anticipado.

    Según estas reglas, es posible transformar las conjunciones en disyunciones, y a la inversa, siguiendo tres sencillos pasos:

    1. Cambiar por , o por .

    2. Negar cada miembro de la conjunción o disyunción.

    3. Negar la fórmula completa.

    El hecho de que un disyuntor se pueda convertir en un conjuntor y al revés resulta de gran utilidad para el cálculo deductivo, ya que posibilita la introducción de nuevas reglas y propiedades que sólo afectan a uno de los dos conectores.

    Reducción al absurdo. La reducción al absurdo es especialmente importante dentro del cálculo deductivo, ya que supone una puesta en práctica de todas las ideas explicadas hasta el momento en este capítulo.

    También llamada «regla de la introducción del negador», la reducción al absurdo consiste en buscar la contradicción de aquello que se quiere demostrar. Así, para llevar a cabo una reducción al absurdo es necesario seguir los siguientes pasos:

    1. Negar la conclusión a la que se quiere llegar.

    2. Deducir a partir del supuesto una contradicción.

    3. Negar el supuesto que ha dado lugar a la contradicción y establecer la conclusión deseada.