Lógica de clases

    Dentro de la lógica deductiva cabe distinguir dos formas diferentes de cálculo, cada una de las cuales con sus propios métodos, simbologías y reglas. Una de ellas es la lógica proposicional o de enunciados, analizada en el capítulo anterior, y la otra es la lógica de clases, que se adentra en el estudio de los predicados por medio de los llamados cuantores, cuantificadores o términos.

    La mayor diferencia entre las dos formas de cálculo deductivo está referida a la profundidad con la que se analizan y representan los enunciados y a las relaciones que se establecen entre las proposiciones.

    Así, mientras que la lógica proposicional sólo representa las frases en conjunto, en bloque, sin detenerse en las partículas y en los elementos que las componen, la lógica de clases se caracteriza precisamente porque trata de ahondar en la estructura de las frases para representar simbólicamente cada uno de los elementos que las conforman desde un punto de vista lógico.

    Como señala Alfredo Deaño en una de sus obras más importantes, Introducción a la lógica formal, la expresión «Virginia Woolf era inglesa» se representaría en la lógica de enunciados haciendo uso de una sola variable, que podría ser p, q, x..., mientras que la lógica de predicados trataría de expresar la estructura gramatical de la frase distinguiendo entre el sujeto y el predicado, empleando una fórmula del estilo de Ia, donde I representaría el predicado «... era inglesa», y donde a simbolizaría a Virginia Woolf, al individuo que cae bajo el efecto de lo que se predica. Así, la expresión Ia, referida a «Virginia Woolf era inglesa», se interpretaría o leería como «El era inglesa se dice de Virginia Woolf».

    La profundidad que alcanza la lógica de clases frente a la proposicional ha motivado que usualmente se estudie después de que el alumno se haya familiarizado con los rudimentos de ésta, que es, a primera vista, mucho más simple.

    La historia de la lógica de clases

    Si la escuela megárico-estoica fue la responsable del origen de la lógica de enunciados, el autor que inició el desarrollo de la lógica de clases fue Aristóteles, quien se interesó muy especialmente por la relación existente entre los sujetos y los predicados y entre las sustancias y los atributos, que constituyen el correlato ontológico o material del plano meramente lógico.

    El matemático Kurt Gödel (a la izquierda de la imagen, fotografiado junto a Albert Einstein) consideraba que los conjuntos, de los que se deriva la lógica de clases, son elementos de clases: si un conjunto pertenece a una clase, es miembro de esa misma clase.

    La lógica que parte de la tradición inaugurada por Aristóteles (384-322 a.C.) se caracteriza fundamentalmente por la profundidad analítica con la que aborda las oraciones, que deja a un lado la mera superficie (objeto de la lógica de enunciados) para buscar las relaciones entre los componentes de la oración, otras oraciones y la propia realidad.

    La unidad mínima con la que trabaja la lógica proposicional es el enunciado, la frase dotada de sentido pleno y considerada en bloque; y la unidad mínima dentro de la lógica aristotélica es el término. Los términos se refieren a los sujetos y a los predicados que componen las oraciones, y tienen como objetivo representar conjuntos de cosas, objetos o entidades que comparten una o varias características comunes. Por ejemplo, para la lógica proposicional la oración «todos los escritores son cultos» sólo se consideraría como una unidad, sin distinguir ninguna clase de partícula más pequeña que la propia oración; por el contrario, para la lógica de clases es posible distinguir dentro de la oración dos términos: un sujeto, que sería «escritores», y un predicado, que sería «cultos».

    Debe tenerse en cuenta además que al tratarse de una forma de lógica que emparenta un grupo de miembros o individuos con unas cualidades comunes, la deducción en Aristóteles es fácilmente asimilable a las matemáticas, que llama a estos grupos «conjuntos» o «clase». De esta forma, con el transcurrir de los siglos y los estudios, la lógica clásica se terminó convirtiendo en lo que hoy se conoce como lógica de clases.

    Tal y como es concebida en la actualidad, la lógica de clases fue creada por el matemático y lógico inglés George Boole (1815-1864) hacia mediados del siglo XIX con el objeto de desarrollar una formulación más precisa de la vieja lógica aristotélica. Esta tarea nació además dentro de un programa mucho más amplio y ambicioso, que pretendía reducir el funcionamiento de la lógica al de las matemáticas, dando lugar a lo que se conoce como el álgebra lógica.

    El concepto de clase, por su parte, fue creado ya en el siglo XX por John van Neumann y Paul Bernays. Con él hacían referencia a los conjuntos, que habían sido definidos por el matemático ruso Georg Cantor (1845-1918) unos años antes.

    A pesar de que la lógica de clases como tal no fue completamente formalizada hasta bien entrado el siglo XIX, se considera que es anterior a la lógica proposicional, puesto que en la obra de Aristóteles se puede encontrar ya una primera formulación de las ideas básicas que integran esta forma de lógica. Un enunciado como «todos los hombres son mortales» equivalía en la lógica aristotélica a considerar a los hombres como un conjunto –una clase– que poseía determinados caracteres como la mortalidad, de tal modo que en realidad significaba que el conjunto de los hombres formaba parte de otro conjunto más amplio, el de los seres mortales.

    También es posible interpretar la lógica de Aristóteles de otra manera, precursora, asimismo, de la actual lógica de clases: si se centra la atención en la relación de predicados y se entiende que los juicios no comparan clases, sino propiedades, entonces la proposición «todos los hombres son mortales» significa que el concepto «hombre» comprende entre sus características esenciales el concepto de «mortal» y que «mortal» es parte de la definición de «hombre».

    La primera interpretación del sentido de la lógica aristotélica es extensional, ya que comprende la existencia de unos conjuntos que pertenecen unos a otros, mientras que la segunda es intensional, puesto que basa el sentido de las oraciones y la relación entre los sujetos y los predicados en la atribución de unos caracteres esenciales a la definición de un ente cualquiera.

    Cada una de estas interpretaciones de la lógica clásica aristotélica da lugar a una forma distinta de cálculo deductivo: la que considera la existencia de conjuntos conduce a la lógica de clases y la que interpreta los sujetos y los predicados como la relación entre una definición y unos atributos da lugar a la lógica de predicados, también conocida como lógica cuantificacional. Por todo ello, la mejor forma de empezar a comprender la lógica de clases pasa por analizar pormenorizadamente la lógica de Aristóteles.

    La lógica aristotélica

    Desde un punto de vista amplio, se puede definir la lógica aristotélica como aquella ciencia que tiene por objeto el análisis del razonamiento deductivo, comprendido éste como la estructura racional que a partir de unas proposiciones iniciales o premisas permite deducir una conclusión o un enunciado que se encuentra incluido en ellas.

    El razonamiento deductivo al que Aristóteles dedicó más tiempo fue el silogismo, que se podría definir como un tipo especial de razonamiento integrado por tres elementos u oraciones, la última de las cuales se sigue necesariamente de las dos primeras en virtud de su forma lógica.

    La palabra «silogismo» procede del término griego logoi, que designa oraciones o enunciados. Esto muestra hasta qué punto el silogismo representaba para el pensamiento clásico griego la forma más necesaria y perfecta de argumentación .

    Cuadro 1. Una de las formas silogísticas descubiertas por Aristóteles en los Primeros analíticos es la que aparece en el cuadro. En ella se puede observar cómo la conclusión se sigue necesariamente de las premisas.

    En lo que se refiere a las oraciones o proposiciones que integran el esquema del silogismo, cada una de ellas se caracteriza porque consta de un sujeto y un predicado que están enlazados por el verbo ser. Aristóteles pensaba que incluso aquellas oraciones en las que se emplea un verbo distinto, éste es perfectamente sustituible por el verbo ser, de tal modo que una oración como «Juan fuma» significa en realidad «Juan es fumador».

    Cuadro 2. Dentro de los juicios cabe hablar de proposiciones más o menos complejas. El categórico es el más sencillo, mientras que el hipotético y el disyuntivo introducen otros elementos.

    Por otra parte, las oraciones que integran un silogismo pueden ser simples, como los enunciados categóricos («todos los hombres son mortales»), y complejas, como las oraciones hipotéticas. Estas últimas son aquellas oraciones en las que se plantea una condición entre dos partículas o aquellas en las que se establece una disyunción como «si P es S, entonces P es Q» o como «P es S o Q».

    Siguiendo con la estructura de los silogismos, las dos primeras oraciones que los conforman se llaman premisas. Hay dos clases de premisas: la mayor, que es la que aparece primero, y la menor, que es la que aparece después. La última oración del silogismo es la conclusión, y se infiere lógicamente de las dos premisas que la anteceden.

    Cuadro 3. Esquema de un silogismo. En él pueden apreciarse las premisas mayor (la primera, que habla de lo más general) y menor (la segunda, que suele referirse a un caso particular), de las que se infiere la conclusión.

    Cada proposición (las dos premisas y la conclusión) consta de dos términos, el sujeto y el predicado, que pueden recibir los nombres de «término mayor», «término medio» y «término menor» según la parte del silogismo donde aparezcan.

    Cuadro 4. Para Aristóteles hay cuatro figuras elementales del silogismo, que vienen definidas por la posición que ocupa el término medio en los juicios, más concretamente en las dos premisas.

    El «término mayor» es el predicado de la conclusión (en el mismo ejemplo del cuadro 1, sería «mortales», que se puede sustituir por «P») y el «término menor» es el sujeto de la conclusión («americanos», que se puede sustituir por «S»). El «término medio» aparece únicamente en las dos premisas, pero no en la conclusión (en el ejemplo sería «hombres», que puede sustituirse por «M»). El nombre de los términos se debe a la cantidad de individuos a los que se hace referencia, de tal manera que el término mayor afecta a un número de miembros superior a los términos menor y medio.

    Representación intuitiva de un silogismo del modo Barbara, llamado así por los lógicos medievales (v. los cuadros 7 y 8) para recordar su estructura.

    La distinción entre los términos que conforman el silogismo es de suma importancia para la comprensión de la lógica clásica, ya que Aristóteles clasificó los silogismos a partir de la posición que en las premisas ocupaba el término medio. Éste puede aparecer de cuatro maneras: como sujeto dentro de la primera premisa y como predicado de la segunda, lo que da lugar al llamado «silogismo de la primera figura»; como predicado de las dos premisas, lo que genera el «silogismo de la segunda figura»; como sujeto de las dos premisas, constituyendo el «silogismo de la tercera figura», o como predicado de la primera premisa y sujeto de la segunda, configurando el «silogismo de la cuarta figura».

    Aristóteles clasificó además las proposiciones a partir de la cantidad y de la cualidad que indicasen. Así, según la cantidad que se consigne en un enunciado, éste puede ser universal (referido al todo) o particular (referido a lo singular), y según la cualidad, puede ser afirmativo o negativo.

    Cuadro 5. Según Aristóteles, cabe distinguir entre cuatro tipos de proposiciones, que dependen tanto de su cantidad como de su cualidad. Son: universal afirmativa, particular afirmativa, universal negativa y particular negativa.

    Cuadro 6. Modo en el que se formalizan en la actualidad los cuatro tipos de enunciados de la lógica de predicados.

    En otra clasificación, el estagirita estableció también las posibles relaciones entre los cuatro tipos de enunciado, señalando una serie de relaciones elementales que se conocen como contraria, contradictoria y subcontraria.

    En primer lugar, la proposición universal afirmativa (A) es contraria a la proposición universal negativa (E), puesto que ambas no pueden ser verdaderas a la vez pero sí pueden ser falsas al mismo tiempo. Por ejemplo, si la proposición universal afirmativa «todos los perros ladran» es verdadera, la proposición universal negativa «ningún perro ladra» tiene que ser forzosamente falsa; mientras que si la proposición universal afirmativa «toda piedra es mortal» es falsa, la proposición universal negativa «ninguna piedra es mortal» también lo es.

    En segundo lugar, la proposición particular afirmativa (I) y la proposición particular negativa (O) son subcontrarias, lo que quiere decir que las dos no pueden ser falsas a la vez pero sí pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Por ejemplo, la proposición particular afirmativa «algún perro es ciego» y la proposición particular negativa «algún perro no es ciego» pueden ser verdaderas al mismo tiempo; pero desde un punto de vista lógico no es posible que las dos sean falsas a la vez, ya que lo que afirma una es precisamente lo que niega la otra.

    En tercer lugar, la proposición universal afirmativa (A) y la proposición particular negativa (O) son contradictorias, de tal forma que si una de las dos es verdadera la otra debe ser necesariamente falsa. Por ejemplo, si el enunciado universal afirmativo «todo hombre es mortal» es verdadero, el enunciado particular negativo «algún hombre no es mortal» es falso; por el contrario, si «algún hombre no es mortal» es verdadero, entonces «todo hombre es mortal» tiene que ser necesariamente falso. En este caso se puede observar cómo una sola excepción dentro del conjunto de los hombres que son mortales sirve para contradecir lo que se afirma en un enunciado universal, que afecta a todos los individuos de la clase.

    De esta manera, Aristóteles describió cuáles eran todos los silogismos posibles y cuáles eran las relaciones que se podían establecer entre los tipos de enunciados atendiendo a su cualidad y a su cantidad. Y lo hizo de una manera tan perfecta que hubieron de pasar muchos siglos hasta que se introdujesen las primeras innovaciones.

    La imagen muestra las relaciones elementales entre los distintos tipos de proposición según Aristóteles.

    Por otro lado, y de forma paralela, el pensador griego también desarrolló unas reglas referidas al comportamiento de los términos y las proposiciones con el objeto de definir con más precisión la estructura y las propiedades de los silogismos.

    Reglas para la formación de silogismos: en cuanto a los términos. En lo que se refiere a los términos, existen cuatro reglas que determinan la validez de un silogismo. Se exponen a continuación, con ejemplos aclaratorios.

    No puede haber más de tres términos. Según esta regla, en un silogismo sólo pueden aparecer los tres términos ya mencionados: el mayor, el medio y el menor. De lo contrario, si se introducen más términos, las expresiones carecen de sentido y no se pueden ajustar a la estructura elemental de los silogismos. Por ejemplo: «El hierro es un metal. La harina es un polvo. ¿El hierro y la harina son un metal pulverizado?».

    Los términos no pueden tener mayor extensión en la conclusión que en las premisas. Esta regla quiere decir que los términos que aparecen en la conclusión tienen que referirse a los términos de las premisas tal y como éstos aparecen en ellas. Un silogismo que atenta a esta regla sería el siguiente: «Todo sabio posee la sabiduría. Todo sabio es hombre. ¿Todo hombre posee la sabiduría?».

    El término medio se ha de tomar en toda su extensión al menos en una premisa. La regla referida a los términos expone que lo que se diga acerca de los elementos que componen el término medio debe afectar a todos los elementos del término medio en al menos una de las premisas. En este punto debe tenerse en cuenta un principio que afecta a las dos últimas reglas y que consiste en que todo predicado de un juicio afirmativo es particular, mientras que todo predicado de un juicio negativo es universal. Un ejemplo de silogismo que va contra esta regla es: «Las sillas son muebles. Las mesas son muebles. ¿Las mesas son sillas?».

    El término medio no debe entrar en la conclusión. Un razonamiento que rompe la regla podría ser: «Alejandro Magno fue pequeño. Alejandro Magno fue un gran conquistador. ¿Alejandro Magno fue un pequeño gran conquistador?».

    Reglas para la formación de silogismos: en cuanto a las proposiciones. Igual que sucede en lo relativo a los términos, otras cuatro reglas referidas a las proposiciones determinan que un silogismo sea correcto. Son las siguientes.

    Dos premisas afirmativas no pueden dar una conclusión negativa. Un ejemplo de razonamiento que atenta contra este principio es el siguiente: «Todos los chimpancés son primates. Algún chimpancé sabe hablar. ¿Los que no saben hablar son primates?».

    De dos premisas negativas no se obtiene conclusión alguna. El siguiente ejemplo aclara la regla: «Las plantas no son seres racionales. Los hombres no son plantas. ¿Los hombres no son seres racionales?».

    De dos premisas particulares no se obtiene conclusión alguna. Como puede observarse en este ejemplo: «Alguna osadía es virtud. Algún descaro es osadía. ¿El descaro es virtud?».

    La conclusión sigue siempre la peor parte. Esta regla implica que si una de las premisas es particular, la conclusión también debe ser forzosamente particular; mientras que si una de las premisas es negativa, la conclusión también ha de ser negativa. O lo que es lo mismo: dentro de los silogismos no es posible saltar sin más desde lo particular hasta lo universal, ni desde lo negativo hasta lo afirmativo, puesto que estas determinaciones de cualidad y cantidad son absolutas. El siguiente ejemplo muestra un razonamiento que rompe la regla: «Algunos pájaros son azules. Todos los pájaros son seres vivos. ¿Todos los seres vivos son azules?».

    En total, para la lógica aristotélica existen 19 modos válidos de silogismo. Para recordarlos, los lógicos medievales, que basaron todos sus estudios formales en la interpretación de la obra del estagirita, desarrollaron un curioso método mnemotécnico, que indicaba a través de las vocales de unas palabras inventadas cuál es la posición que ocupan los términos dentro de las tres proposiciones de los silogismos.

    Los diagramas de Venn

    La lógica simbólica moderna supuso una auténtica revolución dentro de los lenguajes formales. La lógica clásica, la aristotélica, había permanecido prácticamente inalterada durante muchos siglos, y a partir del establecimiento de nuevas e inesperadas relaciones entre las matemáticas y la lógica en el siglo XIX comenzaron a surgir nuevos lenguajes que desarrollaban novedosas perspectivas.

    Dentro de estos nuevos lenguajes simbólicos, el de Giuseppe Peano (1858-1932) es el más aconsejable para introducirse en el estudio de la lógica de clases, ya que es el que permite tratar de una forma más familiar e intuitiva todas las ideas que se acaban de estudiar acerca de la lógica aristotélica.

    La aportación más importante del matemático italiano al mundo de la lógica es el desarrollo de una nueva notación simbólica, que partía de la idea de que el verbo «ser», omnipresente en la lógica aristotélica, debía ser representado con la letra griega , que indica pertenencia. En este contexto, «ser» quiere decir la pertenencia de un individuo a una clase o conjunto. Por ejemplo, si se define por un lado el conjunto de los escritores argentinos con el símbolo , y se representa a Jorge Luis Borges con la letra a, la fórmula a se leería como «a pertenece a » o «a es miembro de », o, lo que es lo mismo, «Jorge Luis Borges pertenece al conjunto de los escritores argentinos».

    Aunque también se pueden emplear otros lenguajes para explicar la lógica de clases y la lógica de conjuntos, la de Peano ofrece la ventaja de que permite mostrar los paralelismos existentes entre la lógica simbólica moderna y la lógica clásica de Aristóteles.

    Cuadro 7. Para recordar los 19 modos válidos de silogismo, los lógicos medievales utilizaban estas palabras mnemotécnicas, cuyas vocales indican el tipo de cada una de las tres proposiciones del silogismo.

    Como ya se ha estudiado, los términos de las proposiciones categóricas son nombres comunes como «animal» o «triángulo», que no denotan un individuo determinado sino conjuntos o clases de individuos. Cuantitativamente hablando, las relaciones que se establecen entre estos términos dentro de la proposición categórica, representadas por la cópula «es», son de inclusión o de exclusión total o parcial de un conjunto en otro. En consecuencia, al considerar los predicados extensionalmente, la lógica de clases puede representar con facilidad en diagramas los silogismos de la lógica aristotélica.

    Esta idea no es novedosa por completo, pues ya en el siglo XVIII se utilizaban círculos para expresar las relaciones de pertenencia entre los términos de una proposición categórica. Sin embargo, a pesar de que Euler o Leibniz ya pudiesen hacer uso de este tipo de representaciones, hasta el siglo XIX no se extendió su uso de una forma sistemática. Por ejemplo, la representación gráfica de un enunciado universal positivo como «todo S es P» consistiría en un círculo pequeño (que representaría S) dentro de un círculo más grande (que representaría P); en el caso de un enunciado universal negativo del tipo «ningún S es P» se emplearían dos círculos separados que no llegan a tocarse en ninguno de sus puntos; y en el caso de los enunciados particulares negativo y afirmativo se usarían círculos entre los que se da algún tipo de intersección.

    Cuadro 8. Ejemplos de enunciados que facilitan la memorización de las palabras mnemotécnicas empleadas en algunas de las 19 formas correctas de silogismo.

    Sin embargo, como este tipo de representaciones no alcanza toda la precisión que requiere una disciplina exacta como la lógica, en la actualidad se prefiere el uso de los diagramas de John Venn (1834-1923), que parten de la teoría algebraica de George Boole.

    La representación gráfica de los silogismos intenta mostrar de manera intuitiva cómo los sujetos se relacionan con los predicados. Por ejemplo, «todo hombre es mortal» se representaría incluyendo el conjunto de los hombres (S) dentro del conjunto de los mortales (P).

    Al igual que los círculos antes descritos, los diagramas de Venn representan los términos de los enunciados de manera extensional, incluyendo, separando o representando mediante una intersección, una inclusión o una separación la pertenencia de los individuos de una clase a otro conjunto o clase. Sin embargo, la gran ventaja de los diagramas de Venn, que condujo a su imposición en el mundo de la lógica, es que además pueden representar el vacío.

    John Venn también empleó círculos e intersecciones en sus diagramas para mostrar gráficamente el comportamiento de los sujetos y los predicados dentro de un silogismo; sin embargo, añadió una importante innovación al introducir la representación del vacío en las clases.

    Un conjunto es vacío cuando no cuenta con ningún individuo, como el conjunto de las líneas que no están compuestas por puntos o el conjunto de los perros que maúllan. En la simbología de Venn, la existencia de un conjunto que es vacío, que carece de miembros, se representa a través del sombreado, que señala el círculo o la región del círculo que carece de individuos, que están vacíos.

    Los signos de la lógica de clases. Al igual que sucede con la lógica proposicional, la lógica de clases posee su propia simbología, unos signos que sirven para expresar los elementos que componen las oraciones y las relaciones que se pueden producir entre estos elementos. El signo « » (que se coloca sobre la letra que designa una clase o fórmula entera) se conoce como signo de «complemento de»; « » se lee «la clase de todas las entidades que no son miembros de», de tal forma que se leería como «la clase de todas las entidades que no son miembros de la clase A».

    Como se puede observar en la imagen, los diagramas de Venn expresan a través de una simbólica propia las relaciones entre conjuntos, incluyendo la existencia o no de vacío.

    El signo « » se conoce como signo de inclusión y se lee como «está incluido en», «es» o «son». Así, la expresión A B se lee como «la clase A está incluida en la clase B» o «A es B». Por otra parte, el signo de negación de la inclusión se representa « », que se lee como «no está incluido en».

    Representación propuesta por Leonhard Euler en el ejemplo de «los animales irracionales», es decir: la clase de los animales que no pertenecen a los animales racionales u hombres. El recuadro significa la clase universal o universo del discurso («los animales»). Representa, en consecuencia, a los individuos que no pertenecen a la clase A.

    El signo «=» se conoce como el signo de la identidad y se lee como «es idéntico a», de tal modo que la fórmula A = B se leería como «la clase A es idéntica a la clase B». El signo de negación de la identidad es « », que se lee como «es distinto a».

    El signo « » se conoce como el signo de la «suma de», y se lee «la suma de». Sin embargo, al interpretar este signo se debe tener en cuenta que se trata de una suma lógica, no de una suma aritmética. Así, la fórmula A B debe leerse como «la suma de las clases A y B».

    El signo « » se conoce como el signo del «producto de», y al igual que sucede con el signo de «suma de» no se refiere al producto aritmético, sino al producto lógico. Así, la fórmula A B se leería como «el producto de las clases A y B».

    Diferencias de representación entre los diagramas de Leonhard Euler y los de John Venn, que son mucho más intuitivos.

    Aspectos gráficos de los diagramas de Venn. A la hora de interpretar los diagramas de Venn es conveniente tener en cuenta algunos aspectos gráficos de su representación de los conjuntos:

    • En primer lugar, debe tenerse presente que cuando aparece un círculo, una intersección o una parte sombreada quiere decir que se trata de una parte o un conjunto vacío, que carece de individuos o miembros, y que, en consecuencia, no se trata de una clase.

    Representación propuesta por Euler de, por ejemplo, «los hombres son animales racionales», que es equivalente a la clase de los hombres es igual a la clase de los animales racionales.

    • En segundo lugar, cuando aparecen partes marcadas por una x hay que interpretar que no se trata de un conjunto vacío, sino que posee miembros o individuos y que, por tanto, se trata de una clase.

    • En tercer lugar, cuando aparecen partes o conjuntos en blanco, que ni están marcados ni están sombreados, debe interpretarse que se trata de un conjunto o de una sección de los que no se tiene información, por lo que generan una clase sin datos.

    Representación propuesta por Euler de, por ejemplo, «los roedores o los herbívoros», que es igual a la clase de los animales que son roedores no herbívoros o que son herbívoros sin ser roedores, o que son ambas cosas a la vez. Representa a la clase de los individuos que pertenecen al menos a una de las dos clases A o B, o a ambas al mismo tiempo.

    Representación de Euler de, por ejemplo, «los roedores andinos», que es igual a la clase que pertenece simultáneamente a los roedores y a la clase de la fauna andina. Por tanto, ni son todos los roedores, ni es toda la fauna andina.

    Tabla 1. En la tabla puede apreciarse cómo cada tipo de lógica emplea su propia simbolización de los enunciados.

    Los diagramas de Venn son sumamente útiles para comprobar la validez de los silogismos aristotélicos de una forma muy sencilla, sin necesidad de tener que recurrir a la memorización de palabras clave, tal y como hacían los lógicos medievales. Para saber si un silogismo es válido utilizando estos diagramas es necesario seguir cuatro pasos:

    1. Se simbolizan las tres proposiciones (las dos premisas y la conclusión) mediante la simbología de Peirce o la de Boole, o mediante las letras A, E, I, O.

    Paso 1.

    2. Se dibujan tres círculos que tengan intersecciones mutuas, cada uno de los cuales representa uno de los tres términos (mayor, medio y menor: S, P, M) del silogismo.

    3. Se representan las premisas, teniendo presente que si una de ellas es universal y la otra particular se debe empezar por la universal.

    Pasos 2 y 3.

    4. Se verifica si, al haber hecho esto, la conclusión ha quedado también representada con los diagramas. Si es así, se considera que el silogismo es válido; por el contrario, si la conclusión no ha quedado representada, se considera que el silogismo no es válido.

    Paso 4.

    Dado que la conclusión U Â 0 está representada (es decir, no es una zona vacía, sino que está marcada por una x), el silogismo es verdadero. Dicho de otro modo, la conclusión «algún hombre no es rico» aparece representada.