Las matemáticas como ciencia

El ser humano ve en las matemáticas una de sus creaciones más universales. Dotada de un lenguaje simbólico propio muy poderoso, la ciencia matemática trasciende las fronteras del idioma y puede ser comprendida sin necesidad de traducciones por los especialistas de todas las nacionalidades.

Esta realidad ha llevado algunas veces a realizar propuestas tan ilustrativas como extravagantes. Éste es el caso, por ejemplo, de la presentada por el alemán Carl Friedrich Gauss, uno de los matemáticos más luminosos de la historia, quien, en 1920, se preguntó cómo podría advertirse a unos supuestos extraterrestres de la existencia de vida inteligente en nuestro planeta. Como respuesta, el propio Gauss sugirió trazar un gigantesco triángulo rectángulo sobre los bosques de Siberia que reprodujera el teorema de Pitágoras.

El supuesto que guiaba el razonamiento de Gauss es que, si existieran civilizaciones extraterrestres avanzadas, habrían de poseer conocimientos matemáticos idealizados que, salvo las diferencias de notación y otros detalles menores, serían esencialmente idénticos a los del ser humano. El proyecto que propuso consistía en trazar el perfil del triángulo con una franja de bosque de unos 15 km de anchura, y formar los cuadrados de cada uno de los lados mediante campos de cereales.

Este enorme teorema matemático escenificado debería poder visualizarse desde los planetas del Sistema Solar, suponiendo que sus hipotéticos habitantes contaran al menos con telescopios de capacidad similar a la obtenida en la Tierra en la primera mitad del siglo xix. No sorprende que Gauss no pudiera ver materializado un proyecto que, en su esencia, tanto recuerda a las enigmáticas figuras de la cultura de Nazca, en el Perú.

Reseña histórica

Aunque sea un hecho indemostrable, suele aceptarse que el ser humano adquirió los conceptos de número y forma geométrica de modo empírico en tiempos prehistóricos. Así, con la progresiva complejidad social del Neolítico aparejada al surgimiento de la agricultura, la constitución de las primeras sociedades extensas y el inicio del comercio, se hicieron necesarias medidas de áreas, volúmenes y tiempos, así como observaciones astronómicas aplicables a la navegación y a los ciclos agrícolas.

Estos conocimientos alcanzaron un grado de desarrollo ya considerable en las primeras civilizaciones. China, la India, Mesopotamia y Egipto fueron cuna de muchos progresos matemáticos ulteriores, si bien a menudo alejados todavía del rigor formal propio de la posteridad. En la América precolombina, culturas como la maya adquirieron también, de modo independiente, un extenso cuerpo de saber matemático.

En el estudio clásico de la historia de las matemáticas se ha dado en destacar el salto cualitativo que se produjo en el Mediterráneo oriental con la asimilación del legado de las civilizaciones orientales por los pueblos griegos. En la Grecia clásica tuvieron lugar avances notables de la lógica y la filosofía que propiciaron el nacimiento de las matemáticas como una disciplina teórica, abstracta y deducible.

Aunque durante la Edad Media el impulso científico se perdió en Europa, los monasterios y algunos eruditos consiguieron recoger los avances matemáticos de árabes e hindúes y legarlos a la posteridad. A la izquierda, página de un manuscrito en latín sobre los Elementos, de Euclides; a la derecha, página del Philosophiae naturalis principia mathematica, de Isaac Newton.

Aunque durante la Edad Media el impulso científico se perdió en Europa, los monasterios y algunos eruditos consiguieron recoger los avances matemáticos de árabes e hindúes y legarlos a la posteridad. A la izquierda, página de un manuscrito en latín sobre los Elementos, de Euclides; a la derecha, página del Philosophiae naturalis principia mathematica, de Isaac Newton.

En esencia, los griegos concibieron la ciencia matemática en dos ramas, aritmética y geometría, dedicadas a estudiar respectivamente la discontinuidad (los números) y la continuidad (los polígonos y figuras geométricas) en la naturaleza. Algunos precursores como Tales de Mileto, Anaximandro o Pitágoras establecieron los principios de la geometría, el cálculo y la trigonometría (estudio de los triángulos). Más tarde, el sabio alejandrino Euclides recogió en sus Elementos tal cantidad de teoremas y desarrollos de alto valor que ha sido calificado de «padre de la geometría». Los teoremas y razonamientos de los matemáticos griegos siguen enseñándose en las escuelas como base de los conocimientos a esta ciencia.

Tras la caída del Imperio romano de Occidente, el impulso científico declinó en Europa, aunque mantuvo su florecimiento entre los pueblos árabes y persas. La ubicación geográfica de la cultura islámica, a caballo entre el occidente grecolatino declinante cuyos textos clásicos tradujo y las grandes civilizaciones orientales de la India y China, auspició un extraordinario desarrollo de las matemáticas en los tiempos medievales. En este contexto destacaron algunos personajes de gran altura intelectual, como Abul Wafa, al-Batani, al-Jwarizmi y Omar Jayyam.

Entre tanto, algunos europeos como Leonardo de Pisa recibieron esta influencia árabe y preludiaron un resurgimiento del saber matemático en la Europa cristiana. Una vez alcanzados de nuevo niveles de notable prosperidad económica y un empuje político y social basado en las nacientes ciudades, los pueblos europeos retomaron su herencia clásica. Se beneficiaron además de la influencia árabe para inaugurar un periodo muy fértil de descubrimientos científicos y de expresión artística y literaria a partir del Renacimiento en Italia.

La ciencia matemática moderna y contemporánea

El extraordinario interés suscitado en Europa por la ciencia y el rápido progreso tecnológico asociado cristalizaron en los siglos xv al xvii en una verdadera revolución científica. Ésta se centró principalmente en los estudios de la astronomía y la mecánica, si bien encontró eco en otros muchos ámbitos del conocimiento. Uno de ellos fue el de las matemáticas.

En los primeros tiempos de la Edad Moderna, pensadores como los italianos Niccolò Tartaglia y Girolamo Cardano y, más tarde, el francés René Descartes ayudaron a revitalizar el lenguaje y el campo de estudio de las matemáticas. El último elevó a su máxima expresión el método deductivo e influyó notablemente en el periodo anterior al basar sus estudios sobre geometría en sistemas de coordenadas rectangulares denominados, en su honor, cartesianos. Paralelamente, el británico John Napier publicó las primeras tablas de logaritmos, que facilitaron los cálculos de modo extraordinario.

El testigo de aquellos notables matemáticos fue recogido en el siglo xvii por una generación muy brillante encabezada por Isaac Newton y Gottfried von Leibniz. Ambos desarrollaron, independientemente y en dura pugna personal, el análisis infinitesimal que introdujo los conceptos de derivada, diferencial e integral. En esta línea, su trabajo fue continuado por el alemán Leonhard Euler, la familia suiza Bernoulli o el francés Joseph-Louis Lagrange, entre otros muchos.

El siglo xix asistió a una sucesión de avances excepcionales en matemáticas. Dos genios fallecidos en plena juventud, Évariste Galois y Niels-Henrik Abel, inventaron las teorías de grupos. A la vez, las nuevas necesidades de la ciencia y la tecnología hicieron preciso el uso de sistemas de coordenadas no rectangulares, como los ideados por Bernhard Riemann o Gustav Dirichlet, que serían determinantes para el progreso de la ciencia. Sobre esta pléyade de hombres extraordinarios sobresalió, si cabe, la figura del alemán Carl Friedrich Gauss, que ha sido llamado «príncipe de los matemáticos».

La ciencia matemática actual es deudora de los esfuerzos de varios siglos de acumulación de conocimientos y desarrollo de un lenguaje de alto rigor formal y abstracto. A principios del siglo xx, uno de los científicos más influyentes de su tiempo, David Hilbert, pronosticó que el momento en que las matemáticas constituirían una disciplina cerrada y perfecta estaba próximo. Aquella aspiración fue desmentida poco después por Kurt Gödel y otros, que demostraron que era preciso un trabajo continuado e inabarcable para mejorar continuamente la coherencia, consistencia y rigor de los modelos matemáticos.

En las últimas décadas, las matemáticas han hecho un uso creciente de las computadoras para sus trabajos. Tal realidad refleja, por una parte, la complejidad de los sistemas que contemplan, referentes a fenómenos abordables sólo a través de la estadística y los procesos estocásticos y de disciplinas novedosas como la lógica difusa o las teorías de las catástrofes o de juegos. También contribuyen a esta especialización los avances de especialidades ya consolidadas como el análisis o el álgebra. En todo caso, en el estudio de las matemáticas predomina un sentido unitario logrado mediante la organización del conocimiento en torno a los conceptos de estructuras algebraicas y, sobre todo, con un lenguaje altamente simbólico y el empleo del método lógico-deductivo.

Objeto de estudio y clasificación de las matemáticas

El fundamento de la disciplina matemática ha cambiado sustancialmente desde los tiempos antiguos hasta el momento actual. Tanto es así que una definición de esta materia que resultara acertada para los sabios griegos de la época clásica sería inaceptable para los matemáticos de hoy. Esta peculiaridad, que puede extenderse a muchas otras áreas del conocimiento, es especialmente acusada en el ámbito matemático debido, sobre todo, a que los objetos tratados son abstractos, no existen en la realidad.

Por otra parte, los contenidos abordados por los matemáticos en su trabajo cotidiano han variado considerablemente a lo largo de la historia. Modernamente, el objeto de estudio se ha ampliado de modo notable como fruto de un desarrollo interno de sus propias disciplinas, pero también de la contribución de otras numerosas ciencias afines que, en la búsqueda de soluciones idealizadas a sus descripciones y modelos, han extendido el dominio de la aplicación práctica de estos conocimientos. El flujo e intercambio de saberes entre las matemáticas, la física, la ingeniería, la economía o incluso la medicina ha resultado enormemente provechoso para todas ellas.

Para los filósofos griegos, la matemática representaba la ciencia dedicada al estudio de los números y de las figuras geométricas y sus propiedades. Esta definición concuerda aproximadamente con la idea que de ella tiene el profano, presente asimismo en las definiciones de numerosos diccionarios actuales. Sin embargo, tal descripción resulta insuficiente, dado que subdisciplinas como la topología o la teoría de conjuntos versan sobre aspectos que poca o ninguna relación tienen con los conceptos griegos.

Modernamente se ha dado en definir las matemáticas como la ciencia de la estructura, el orden y la relación. Desde este punto de vista, esta disciplina recurre al razonamiento lógico y el cálculo cuantitativo como elementos básicos de trabajo y emplea un lenguaje simbólico específico dominado por fórmulas, ecuaciones y otras formas altamente idealizadas y abstractas de descripción.

Los sistemas matemáticos son así combinaciones de conjuntos de axiomas, o principios generales, y teoremas, que pueden deducirse de los anteriores según las reglas de la lógica. Por axioma se entiende toda proposición que se acepta sin demostración y que sirve como base para la deducción, de forma lógica y consistente, de los distintos postulados de la teoría. Un teorema, por su parte, es una proposición en la cual se parte de unas hipótesis de partida (por ejemplo, axiomas) para demostrar una conclusión.

Desde un punto de vista filosófico, uno de los fundamentos de las matemáticas consiste en garantizar que los conjuntos de axiomas y teoremas que componen una teoría son completos y consistentes. Hasta entrado el siglo xx, las matemáticas se consideraban la máxima expresión de la capacidad intelectiva humana y se valoraban como ciencias poco menos que perfectas. Actualmente se ha moderado esta opinión, de manera que las matemáticas se consideran un campo de estudio abierto en evolución, necesitado permanentemente de desarrollos y esfuerzos renovados para extender las fronteras del conocimiento humano.

Ramas de la ciencia matemática

En su esencia, las matemáticas versan sobre el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Esta sencilla categorización, aun discutible para un campo de saber tan amplio, permite abordar un cierto ordenamiento de las diferentes ramas que constituyen esta disciplina científica.

El estudio de la cantidad es competencia de la aritmética y la teoría de los números. La aritmética puede entenderse como la parte de las matemáticas que analiza formalmente los números enteros y sus operaciones de adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. Por tanto, comprende el aspecto más sencillo, práctico e intuitivo de las matemáticas, y es el enseñado tradicionalmente en las escuelas primarias cuando se aludía a «las cuatro reglas». Por su parte, la teoría de los números extiende el campo de la aritmética hacia entidades y procedimientos más elaborados que avanzan al estudio de los números reales y complejos.

La estructura y la forma son materia de otras ramas específicas de la ciencia matemática. En este ámbito cabe incluir disciplinas como el álgebra y las teorías de grupos. Cuando se manejan conjuntos de números, funciones u otros objetos matemáticos, se descubre que a menudo poseen unas estructuras internas que permiten canalizar su análisis a través de algunas de sus propiedades interesantes. Así, al relacionar cantidades numéricas entre sí e indagar en sus vínculos internos pueden obtenerse expresiones abstractas de estas relaciones que se denominan ecuaciones.

En un problema muy típico de los primeros cursos de enseñanza en matemáticas se pregunta por el número de patas y picos que hay en una granja de gallinas y conejos. Es fácil ver que el número de patas es 2x + 4y, siendo x la cantidad de gallinas e y la de conejos. Análogamente, el número de picos será, simplemente x, uno por gallina.

La anterior forma de expresión se dice algebraica, y el álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la generalización de las relaciones entre cantidades numéricas, sus operaciones y las estructuras que se obtienen. La teoría de grupos supone un desarrollo más abstracto de algunas de las nociones del álgebra.

En el tercero de los aspectos citados de las matemáticas, el espacio es la base de estudio de disciplinas como la geometría y la topología. La primera, que se sitúa en el origen de las matemáticas antiguas, trata de las propiedades de las figuras, la medida de las magnitudes y las relaciones entre puntos, líneas, ángulos y superficies. A su vez, la topología estudia el cambio de las propiedades de los objetos geométricos, como las superficies y los volúmenes, al aplicar ciertas transformaciones matemáticas.

Finalmente, la investigación del cambio corresponde a campos de las matemáticas como el cálculo, las ecuaciones diferenciales o el estudio de integrales, todos ellos dotados de un muestrario de herramientas de alto nivel de abstracción y complejidad. En este escenario cabría incluir asimismo ramas de nuevo cuño como son la teoría del caos y el análisis de los sistemas dinámicos en condiciones de no equilibrio.

El conjunto general de disciplinas matemáticas se completa con ámbitos complementarios como son la lógica matemática y la teoría de conjuntos. Entre las matemáticas aplicadas, la estadística, la combinatoria vinculada al cálculo de probabilidades y la criptografía para el cifrado en clave de mensajes encuentran un campo muy amplio de utilidad en la ciencia y la tecnología modernas.

Notación matemática

Una de las características más significativas de las matemáticas es el empleo de una notación simbólica muy estricta que compone un modo de expresión propio de alto nivel de abstracción. Esta notación utiliza signos y expresiones simbólicas que tienen un valor semántico muy preciso para referir cantidades, formas y otros conceptos afines.

Los símbolos más sencillos y universales empleados en matemáticas son las cifras numéricas, de origen indo-arábigo, cuyo uso se ha extendido a todo el mundo. Dichas cifras, basadas en un sistema de numeración decimal y posicional donde el valor de cada cifra depende de su ubicación relativa con respecto a las demás, son los conocidos guarismos del 1 al 9, más el 0.

En los desarrollos matemáticos es común recurrir al empleo de ecuaciones, fórmulas y expresiones de diversa complejidad. La aritmética emplea símbolos también universalmente reconocidos como suma (+), resta (–), multiplicación (3 o ·) y división (: o /), además de la igualdad (=), mayor que (>), menor que (<) y similares.

La notación matemática alcanza grados notables de simbolismo y abstracción en ámbitos como la lógica y la teoría de conjuntos, que se abordará en los lugares apropiados de esta obra. También en el análisis diferencial e integral, el cálculo con matrices, la probabilidad o la estadística, por ejemplo, se emplean signos específicos de expresión inequívoca.

Si bien las matemáticas están consideradas como abstractas, muchos de sus objetos de estudio forman parte de la vida cotidiana del ser humano. Así, el «irracional» número áureo (F = 1,618033...) fija en realidad las proporciones de billetes, tarjetas de crédito o incluso, obras de arte como el Partenón ateniense (en la imagen).

El rigor formal de la notación matemática es uno de los instrumentos más poderosos del desarrollo de esta ciencia y de otras disciplinas que se sirven de ella, como la física. Actualmente, la intercomunicación entre los grupos científicos de trabajo de diversas regiones del mundo y ámbitos del saber ha permitido construir unas reglas compartidas que han llevado a hablar incluso de la existencia de un lenguaje matemático intrínseco.

Métodos de investigación y aplicaciones

Desde que el filósofo griego Euclides escribiera en el siglo iv a.C. su obra Elementos, el método lógico-deductivo, también llamado axiomático, se ha convertido en uno de los más representativos de las ciencias matemáticas. Aunque dentro de la comunidad científica no existe unanimidad a la hora de ofrecer una definición de este método, se mantiene un consenso acerca de su importancia para el salto cualitativo que permitió el nacimiento de las matemáticas como una ciencia formal y rigurosa.

Según se ha apuntado en apartados precedentes, en el método lógico-deductivo se parte de un conjunto de premisas, llamadas axiomas o postulados, que se admiten sin demostración. A partir de ellas, mediante las herramientas de la lógica, se deducen ciertos enunciados, llamados teoremas, que componen una teoría matemática.

No obstante, la ciencia matemática no utiliza exclusivamente este procedimiento. También recurre, por ejemplo, a argumentos inductivos, que parten de hechos concretos para inferir las causas por diversos razonamientos. En ocasiones, se emplean asimismo herramientas de cálculo masivo como son los equipos informáticos avanzados. Así, por ejemplo, la búsqueda de números primos de varios miles de cifras, los denominados números de Mersenne, es dominio hoy de las supercomputadoras.

En todo caso, las matemáticas constituyen una herramienta de valor incalculable para el desarrollo de las restantes disciplinas científicas. A su vez, éstas han encontrado en la expresión matemática una de sus más poderosas herramientas de progreso. Puede decirse que, en gran medida, la ciencia actual se ha «matematizado» al adoptar ampliamente el lenguaje simbólico que se le asocia. En una visión extrema, se ha llegado a considerar que la ciencia ideal es aquella que puede expresarse completamente con las herramientas matemáticas.

Lo anterior ha conducido a considerar a veces la ciencia matemática como un lenguaje específico más que como una disciplina científica, entendiéndola como la lengua universal de las ciencias. Hay quienes llegan a afirmar que si alguna ciencia se resiste a la matematización se debe a que se encuentra insuficientemente desarrollada o a que hace uso de unas matemáticas inadecuadas, no suficientemente ricas y flexibles.

Sin abundar en este extremo, resulta incuestionable que muchos de los avances científicos, tal como se han producido, no hubieran sido posibles sin la existencia de modelos matemáticos. Como ejemplo puede citarse el empleo que la teoría de la relatividad, formulada en los inicios del siglo xx por Albert Einstein, hizo del estudio de los espacios no euclídeos realizado por Bernhard Riemann en las décadas precedentes, donde encontró casi todo su sustento formal.

De este modo, los sistemas e instrumentos matemáticos constituyen una base insustituible en los planteamientos y teorías de la física, la química y otras ciencias dedicadas a la descripción de la naturaleza. Campos científicos como la economía, la sociología o la psicología han hecho asimismo un uso creciente de herramientas matemáticas y estadísticas, algunas de ellas de gran modernidad. En las ingenierías y otras ramas técnicas donde el lenguaje matemático es consustancial a sus avances, los campos más novedosos, como la informática, la robótica, la biotecnología y la seguridad de los sistemas de telecomunicaciones, recurren intensamente a formulaciones matemáticas cada vez más complejas.

Modernamente, la ciencia matemática ha penetrado incluso en los terrenos del arte contemporáneo. La música dodecafónica, serial o concreta, la teselación de espacios en forma de unidades de mosaico autorreproducidas para la ocupación de espacios o la confección de piezas de video mediante elementos autosemejantes denominados fractales dan buena prueba del valor de esta ciencia para todas las iniciativas de la creatividad humana.