Elementos de geometría plana

    Geometría significa literalmente «medida de tierras». Esta etimología alude al primer uso que se dio a esta ciencia, de índole práctica. Cuando los primeros grupos humanos se asentaron en tierras permanentes, donde practicaron la agricultura y establecieron sus poblados, se hizo cada vez más necesaria una técnica que ayudara a delimitar las lindes de los cultivos y a dirimir los problemas derivados de la propiedad así como la cantidad de tributos que había de rendirse a la comunidad o a su señor máximo.

    Los primeros geómetras de la historia parcelaron imaginariamente estos terrenos en combinaciones de cuadrados, rectángulos, triángulos y otras figuras, para poder medirlos. Idearon procedimientos de simplificación de sus cálculos, como el teorema de Pitágoras que, aunque formulado de manera elegante por este sabio griego, era ya conocido de algún modo por civilizaciones anteriores.

    Hoy la geometría se ha desarrollado en ramas muy numerosas, algunas de alto nivel de abstracción. No obstante, su aplicación práctica relacionada con la medida de superficies y volúmenes conserva su importancia en un amplio ámbito de aplicaciones para la ingeniería.

    Puntos, rectas y planos

    La geometría es una de las ramas más antiguas de la historia de las matemáticas. En general, puede definirse como una ciencia que trata sobre las propiedades del espacio y de los objetos que lo ocupan. En un principio, se dedicó al estudio y descripción de figuras planas, como triángulos, polígonos y círculos, o en el espacio, como prismas, pirámides, esferas y poliedros en general. La disciplina que estudia los objetos planos se denomina geometría plana; la que se ocupa de los cuerpos con volumen, geometría sólida.

    En la actualidad, las derivaciones de la geometría se extienden a cuestiones altamente complejas, como puede ser la descripción de los espacios tetradimensionales de espacio-tiempo, contemplados en la teoría de la relatividad u otras ramas de la física. En estas páginas se abordarán cuestiones mucho más sencillas y elementales que ayudarán a completar una base suficiente para el estudio de las formas y figuras planas y espaciales así como sus propiedades características.

    En su vertiente práctica original, la geometría ha estudiado desde siempre la extensión de los cuerpos, entendida como la porción de espacio que ocupa. Esta extensión se mide en forma de volúmenes, superficies y líneas, según la naturaleza de la dimensión que se considere. Así, se define superficie como el límite que separa a un cuerpo del resto del espacio o de otro cuerpo. La porción de espacio comprendida entre diferentes superficies que se cortan entre sí se conoce por volumen. A su vez, la intersección o corte entre dos superficies es una línea. Esta serie de definiciones se completa con una entidad llamada punto, resultante de la intersección entre dos líneas.

    De este modo, un punto puede verse como la mínima expresión de una extensión, pues carece de longitud, anchura y altura. Los puntos sirven, en definitiva, para indicar posiciones en el espacio. En cambio, las líneas se asemejan a «caminos» que pueden recorrerse entre dos puntos. Las líneas pueden ser curvas o rectas, entendiéndose éstas como las que describen la distancia más corta entre dos puntos.

    Las superficies, como se ha dicho, delimitan los cuerpos, marcan la separación de éstos con el resto del espacio. Como se observa comúnmente en la naturaleza, estas superficies pueden adoptar múltiples formas: curvas diversas, esféricas, planas, etc. Las superficies planas, o simplemente planos, se distinguen porque sólo pueden ser cortadas por una recta en un punto. Sin embargo, una misma recta puede cortar a una superficie curva en más de un punto.

    Puntos, rectas y planos constituyen los componentes elementales de todo estudio geométrico. Por ello, merecen un sistema de notación específico que ayude a reconocerlos y a distinguirlos entre sí:

    Los puntos se denotan por letras mayúsculas del alfabeto latino, como P, Q, R, etc.

    Las rectas se representan mediante letras minúsculas, como r, s, t, u, etc.

    Para referirse a los planos se usan letras del alfabeto griego: , etc.

    La recta y el plano

    Dentro del contexto general de la geometría, las entidades conocidas como rectas y planos pueden determinarse por medio de un conjunto de características esenciales. Así, las líneas rectas verifican las propiedades siguientes:

    • A través de un punto pasan infinitas rectas.

    • Entre dos puntos sólo puede trazarse una única recta.

    • Para determinar una recta es necesario tener al menos dos puntos.

    • Una recta está formada por infinitos puntos.

    • En general, las rectas son ilimitadas. No obstante, pueden considerarse posiciones de las mismas para realizar algún trabajo o descripción sobre ellas. Si en una recta se toma un punto, cada una de las partes que se definen a la derecha e izquierda de dicho punto se llama semirrecta.

    • Cuando se limita la recta entre dos puntos, llamados extremos, se obtiene un segmento de recta. Si se representan dichos extremos por A y B, el segmento se denota como AB.

    Por otra parte, los planos se identifican por las siguientes características:

    • Por una sola recta pasan infinitos planos.

    • Tres puntos no alineados determinan un plano.

    • También puede determinarse un plano mediante una recta y un punto situado fuera de ella o por medio de dos rectas que se cortan.

    • Un plano posee infinitas rectas y, por tanto, infinitos puntos.

    • Los planos son superficies ilimitadas. En ciertas descripciones, puede trabajarse con una parte de los mismos, de manera que la limitación de un plano por una recta se denomina semiplano.

    Posiciones relativas de rectas y planos. De la definición de rectas y planos es posible considerar varios casos de posiciones relativas entre ellos (v. figura 1).

    Ilustración gráfica de las propiedades de las rectas y los planos.

    Dentro de un mismo plano, dos rectas se dicen paralelas cuando no se cortan en ninguno de sus puntos. Un ejemplo clásico aproximado de rectas paralelas es el de las vías del tren en un tramo recto. En una definición formal, se dice que las rectas paralelas se cortan en el infinito.

    Por otra parte, dos rectas de un mismo plano que se cortan en un único punto se dicen secantes. Cuando se intersecan en más de un punto dentro del plano, son necesariamente rectas coincidentes, que se solapan una sobre otra. Además, cuando dos rectas secantes dividen el plano en cuatro partes iguales, como las aspas de una cruz, se dicen perpendiculares.

    Estas mismas consideraciones pueden extenderse a los planos en el espacio. Dos planos paralelos no poseen ningún punto común, mientras que dos planos secantes se cortan entre sí en una recta. Finalmente, si dos planos se cortan en dos rectas, son necesariamente coincidentes. Las rectas de dos planos paralelos que no tienen en una misma dirección no llegan a cortarse, pero tampoco son paralelas. En este caso, se dice que las rectas se cruzan entre sí.

    Representación de puntos y rectas en el plano

    La geometría es una disciplina matemática eminentemente visual. Maneja conceptos y entidades que tienen una sencilla representación gráfica, a menudo de gran utilidad para comprender mejor la naturaleza de los problemas que se abordan.

    En su forma clásica y más sencilla, la representación de las entidades geométricas elementales, como puntos, rectas y planos, se basa en el uso de sistemas de referencia, también llamados de coordenadas. En dos dimensiones, esto es, en el plano, un sistema de referencia se define por medio de un punto, llamado origen y representado por O, y dos rectas perpendiculares que se intersecan en él. Estas rectas se llaman eje de abscisas u horizontal y eje de ordenadas o vertical.

    En un sentido práctico, un punto en un plano puede describirse como un par ordenado cuya primera componente es la posición de su proyección sobre el eje de abscisas y donde su segunda componente es la proyección del punto sobre el eje de ordenadas. Estas dos componentes, llamadas coordenadas del punto, permiten localizarlo sin ninguna ambigüedad en la superficie de un plano.

    Los ejes del sistema se escriben a menudo como OX (abscisas) y OY (ordenadas). Dado un punto P, sus coordenadas suelen denotarse como (a1, a2), (x, y) o formas semejantes, con el mismo lenguaje utilizado para los pares ordenados. De este modo, x es la primera coordenada o abscisa del punto, e y es su segunda coordenada u ordenada.

    Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. En cada uno de estos cuadrantes los valores de las coordenadas de los puntos adoptan diferentes signos definidos por medio de la convención mostrada en la tabla 1.

    Tabla 1. Convención de signos para los cuatro cuadrantes del plano.

    De este modo, la simple lectura de las coordenadas que describen la posición de un punto ofrece una información exacta del cuadrante del plano en que se encuentra dicho punto. El uso de coordenadas permite establecer también con facilidad cuál es la distancia que existe entre dos puntos.

    Dados dos puntos cualesquiera del plano, P (x1, y1) y Q (x2, y2), entre ellos puede trazarse siempre un segmento, como una porción de una recta que los une y que está delimitada por ellos como sus extremos. La geometría permite determinar la medida de dicho segmento, o la distancia que separa los puntos P y Q, por medio de la siguiente expresión:

    Asimismo, es posible determinar las coordenadas del punto medio del segmento PQ. Este punto se define como el que equidista de P y Q, cuyas coordenadas vienen dadas por:

    La representación de planos en el espacio obedece al mismo esquema que la de rectas en el plano. En este caso, se toman sistemas con un origen y tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares, denotados por OX, OY y OZ.

    Ecuación de una recta

    En el apartado anterior se ha indicado que la expresión geométrica de un punto en un sistema de ejes coordenados es del tipo P(x, y), donde x es la abscisa o coordenada horizontal e y la ordenada o coordenada vertical. Análogamente, las rectas pueden escribirse de forma algebraica, construyendo una expresión matemática que relaciona las coordenadas de todos los puntos que las constituyen.

    Así, una recta puede definirse como el conjunto de los puntos del plano cuyas coordenadas cumplen la siguiente ecuación:

    y = mx + n

    Esta expresión se denomina ecuación explícita de la recta. De este modo, las rectas pueden verse como funciones reales de variable real donde a cada coordenada horizontal (abscisa, x) se le hace corresponder un valor de la coordenada vertical (ordenada, y) según una relación lineal, es decir, una ecuación donde ambas coordenadas o variables están elevadas a la unidad.

    Dos rectas paralelas poseen una misma pendiente

    Los valores m y n son dos números reales que tienen una interesante interpretación gráfica (v. figura 2). El primero m, es la pendiente de la recta, entendida como la tangente del ángulo que forma ésta con la parte positiva del eje horizontal. Por su parte, n es la ordenada en el origen, o valor de corte de la recta con el eje vertical.

    Sea, por ejemplo, la recta cuya ecuación es y = 2x + 3. La representación gráfica de dicha recta puede realizarse con ayuda de una tabla de valores como en la tabla 2.

    Tabla 2. Tabla de valores para la representación gráfica la recta y = 2x + 3.

    En la tabla es evidente que el corte con el eje vertical (donde x = 0) es 3, tal como se desprende de la ecuación explícita de la recta. Asimismo, la pendiente de esta recta es 2. Ahora bien, la recta puede escribirse también de la forma:

    2x – y + 3 = 0

    donde se han pasado ordenadamente todos los términos al primer miembro de la ecuación. Esta forma de expresión, denominada ecuación general o implícita de la recta, se escribe de modo genérico como:

    ax + by + c = 0

    Resulta fácil deducir, a partir de las ecuaciones explícita y general de la recta, que la pendiente y la ordenada en el origen de una recta escrita según su ecuación general son:

    Finalmente, para caracterizar la ecuación de una recta basta con conocer dos puntos cualesquiera que pertenezcan a la misma. Esta circunstancia se explica por el principio expresado anteriormente según el cual entre dos puntos dados puede trazarse una única recta. De este modo, si una recta pasa por dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), la recta podría escribirse del modo siguiente:

    Por ejemplo, sabemos que la recta del ejemplo anterior pasa por los puntos P(2,–1) y Q(0,+3). Su ecuación podría determinarse como:

    Dividiendo por 2 y agrupando los términos, se obtiene la ecuación esperada:

    4x + 8 = 2y + 2 2x + 4 = y + 1 2xy + 3 = 0