Geometría circular. Polígonos y cuerpos

    en el espacio

    La expansión griega a Egipto y al oriente con los ejércitos de Alejandro Magno dejó una huella perdurable en la ciudad de Alejandría, fundada por el conquistador macedonio en el siglo IV a.C. Esta ciudad heredó el florecimiento de la filosofía y el saber clásico de las escuelas atenienses y acogió una de las grandes maravillas de la antigüedad: una biblioteca que llegó a contar con cerca de un millón de volúmenes en su momento de máximo esplendor.

    La voluntad recopiladora del saber humano personificada en esta ciudad egipcia a orillas del Mediterráneo encontró una de sus cimas en la figura de Euclides, un personaje de vida prácticamente desconocida para la posteridad y que tuvo un gran influjo en el desarrollo de la ciencia ulterior. De los escritos de Euclides se desprende que acaso no fuera más que un compilador de las matemáticas de su tiempo.

    No obstante, su libro, conservado con el título de Elementos, ha nutrido a los geómetras de todos los tiempos. La misteriosa aureola que rodea a la figura de Euclides y la monumental obra que legó a la posteridad han llevado incluso a algunos, más aventurados, a afirmar que no era un hombre, sino un grupo de sabios, reunidos para resumir los conocimientos matemáticos de toda la historia griega.

    Conceptos generales

    El presente tema está centrado en las cuestiones más relevantes de la geometría circular y poligonal y en la descripción de formas, áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos más comunes en la naturaleza. La geometría circular estudia específicamente la circunferencia y el círculo. Una circunferencia se define, en esencia, como una curva cerrada cuyos puntos equidistan de uno interior que se denomina centro. La superficie o área delimitada por una circunferencia se conoce por círculo.

    Por su parte, la geometría poligonal está dedicada al conocimiento de los polígonos y sus propiedades. Se entiende como polígono toda porción de superficie cerrada confinada por rectas que se intersecan entre sí y que forman segmentos unidos por un extremo. Según el número de estas rectas, o lado, que los delimitan, los polígonos se denominan triángulos (tres lados), cuadriláteros (cuatro lados, como los rectángulos y los cuadrados), pentágonos (cinco lados), hexágonos (seis lados), etc.

    Finalmente, se llama cuerpos geométricos en general a aquéllos que ocupan un volumen cerrado en el espacio. Los más comunes de estos cuerpos son los poliedros, cuya superficie exterior se compone de una sucesión de polígonos planos. Son ejemplos corrientes de poliedros el cubo u octaedro, la pirámide o el prisma, todos ellos muy comunes en la vida cotidiana.

    Las figuras semejantes tienen igual forma y distinto tamaño.

    En los apartados correspondientes a cada uno de estos conceptos se describirán las propiedades, áreas, volúmenes y características habituales de estos cuerpos geométricos en el plano y el espacio. No obstante, antes de entrar en profundidad en estas cuestiones conviene repasar una noción de índole general que facilita la comprensión de las ideas planteadas y la resolución gráfica y analítica de los problemas. Se trata de la noción de semejanza entre figuras.

    Semejanza entre figuras

    La aventura del saber humano se ha sustentado muy a menudo recurriendo a analogías para intentar comprender, y abarcar, los fenómenos y objetos de la realidad circundante. Para conocer la estructura del planeta Tierra, por ejemplo, se usan mapamundis, planos, mapas cartográficos de distintas formas y representaciones totales o parciales de las distintas regiones del globo.

    Estas representaciones se basan en el criterio de la semejanza: el mapa es «igual» que la Tierra, pero en una escala mucho menor. En el espacio, este mismo concepto se aplica en la reproducción en maquetas de edificios, modelos de vehículos u otros muchos objetos, semejantes a los originales pero a distinto tamaño.

    Las semejanzas, tan presentes en el uso cotidiano y práctico, adquieren en matemáticas un sentido estricto de alto interés para la geometría. Se dice que dos figuras son semejantes cuando poseen la misma forma, pero distinto tamaño. Tales son, por ejemplo, las recogidas en la figura 1.

    En el estudio de semejanza entre figuras es importante el concepto de homología. Ésta es una transformación que permite un cambio de escala, convirtiendo, por ejemplo, el punto P en P’, Q y Q’, R y R’, S y S’. Cada una de estas parejas relaciona puntos homólogos entre sí. Análogamente, los lados a y a’, b y b’, c y c’, d y d’ son homólogos, y los ángulos comprendidos entre ellos, también.

    Una característica esencial de la semejanza entre figuras es que los ángulos homólogos, obtenidos por la transformación de homología son iguales. Ésta es la cualidad que permite que la figura no cambie de forma en la conversión. Otra propiedad importante es la razón de semejanza, definida como la proporción que existe entre el segmento que une dos puntos cualesquiera de la figura original y los puntos correspondientes de la figura homóloga.

    Es fácil comprender que, cuando la razón de semejanza es inferior a la unidad, la homología produce una reducción en el tamaño de la figura. En cambio, si dicha razón de semejanza es mayor que 1, la figura aumenta de dimensiones, conservando la forma.

    La semejanza entre figuras geométricas fue analizada con detenimiento por los sabios griegos de la antigüedad. A uno de ellos, Tales de Mileto, se atribuye el teorema que lleva su nombre y que permite comprender las reglas de semejanza entre segmentos.

    Dadas dos rectas cualesquiera, éstas siempre pueden cortarse por una sucesión indefinida de rectas paralelas, tal como se recoge en la figura 2. Pues bien, el teorema de Tales afirma que si dos rectas cualesquiera se cortan por medio de varias rectas paralelas, los segmentos que se determinan por los puntos de intersección en cada recta son proporcionales entre sí.

    Según el teorema de Tales, al cortar dos rectas con una sucesión indefinida de otras rectas paralelas entre sí, los segmentos que determinan estos cortes en cada recta son proporcionales entre sí.

    Este teorema resulta de enorme utilidad en el trazado gráfico de figuras geométricas semejantes y en la realización de dibujos a escala.

    Geometría circular

    Tal como se ha apuntado en el apartado anterior, la geometría circular se centra en el estudio de las circunferencias, los círculos y sus elementos relacionados. Una circunferencia es una línea curva cerrada formada por puntos que equidistan de uno dado, llamado centro. La superficie delimitada por la circunferencia es el círculo.

    Otros elementos interesantes en el estudio de la geometría circular son el diámetro, el radio, el arco de circunferencia, la cuerda, la secante y la tangente. El diámetro se define como el segmento recto que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia pasando por su centro. Evidentemente, una circunferencia tiene infinitos diámetros, todos ellos con la misma longitud.

    Por su parte, el radio es un segmento recto que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos. La medida del radio es la mitad de la del diámetro. Se llama arco de la circunferencia a la partición de la misma entre dos radios cualesquiera.

    Las rectas que cortan a una circunferencia en el plano pueden ser secantes, tangentes o externas. Se llaman secantes cuando cortan a la circunferencia en dos de sus puntos, y tangentes cuando se intersecan con ella en un solo punto, «rozándola» en el mismo. Las rectas que no cortan a la circunferencia son externas a ella.

    Cuando una recta corta a la circunferencia como secante, el segmento de la misma que queda comprendido en su interior se denomina cuerda. De este modo, el diámetro puede definirse como una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. La figura 3 recoge gráficamente el significado de los elementos mencionados.

    Elementos de una circunferencia.

    En el interior de la circunferencia cabe distinguir asimismo otros elementos, denominados sector circular, segmento circular y semicírculo, ilustrados en la figura 4. Así, un sector circular es la parte de círculo que queda comprendida entre dos radios dados. El segmento circular es la parte del círculo encerrada entre un arco y la cuerda que une sus dos extremos. Finalmente, un semicírculo es cada una de las mitades de un círculo dividido por un diámetro.

    Sector circular, segmento circular y semicírculos.

    Los geómetras griegos antiguos dedicaron grandes esfuerzos a desentrañar los secretos de las circunferencias y los círculos, sus posiciones relativas y la longitud y el área de estas figuras, que asimilaban a la idea de perfección. Llegaron a imaginar la circunferencia como un polígono de infinitos lados e intentaron la cuadratura del círculo, esto es, la búsqueda con el uso exclusivo de regla y compás de un cuadrado que tuviera la misma área que el círculo dado.

    Este problema es irresoluble en geometría, debido a la naturaleza de un número irracional que rige el valor de la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Este número es , y el cálculo de su valor, 3,1415926535..., de infinitas cifras decimales, se usa corrientemente como prueba de la potencia de cálculo de las más modernas computadoras.

    El número es la relación matemática que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. De este modo, esta longitud puede calcularse como:

    l = 2 R

    siendo R la magnitud del radio de la circunferencia. Análogamente, la superficie del círculo que ésta delimita es igual a:

    S = R2

    Polígonos

    La definición de polígono se ha propuesto al inicio de este capítulo: una porción de superficie cerrada confinada por rectas que se intersecan entre sí y que forman segmentos unidos por un extremo. Cada uno de estos segmentos recibe el nombre de lado, y los puntos en los que se intersecan segmentos contiguos se conocen como vértices del polígono. Cada dos lados contiguos forman un ángulo. Finalmente, los segmentos trazados entre lados no adyacentes se denominan diagonales.

    En la naturaleza, y en la teoría matemática, se contempla una diversidad de formas poligonales prácticamente ilimitada. Muchas de ellas son altamente caprichosas y complejas. Otras, en cambio, son muy reconocibles, como los triángulos, rectángulos, cuadrados y rombos. En cualquier modo, dentro de los polígonos se cumplen algunas reglas generales comunes:

    • Todo polígono posee un mismo número de lados, ángulos y vértices.

    • La suma de los ángulos de un polígono de n lados es igual a (n – 2) · 180°. En el conocido ejemplo del triángulo, de tres lados, esta suma es exactamente 180°.

    • El número de diagonales que pueden trazarse en un polígono de n lados es igual a:

    Es fácil ver que en un triángulo, el número de diagonales resultante de esta fórmula es 0. En cambio, en un cuadrado se obtiene como resultado 2, que es lo que cabría esperar (v. figura 5).

    Ejemplos de polígono cóncavo y convexo.

    Los polígonos se clasifican en convexos y cóncavos. En los primeros, al prolongar cualquiera de sus lados, la línea resultante queda fuera del polígono. Será cóncavo cuando suceda lo contrario. Por otra parte, el polígono se dice equilátero si tiene todos los lados iguales, y equiángulo, cuando todos sus ángulos tienen el mismo valor. Los polígonos equiláteros y equiángulos se conocen como regulares, y han recibido la mayor atención en la historia de las matemáticas.

    Tabla 1. Propiedades generales de los polígonos regulares.

    Tabla 2. Área de polígonos comunes.

    La tabla 1 muestra una relación de los polígonos regulares, con sus características más sobresalientes. Por su parte, la tabla 2 ofrece un resumen de las fórmulas que sirven para determinar el perímetro y el área de diversas figuras planas. En esta segunda tabla conviene establecer el significado de varias definiciones:

    • Se llama perímetro, P, a la suma de todos los lados de un polígono.

    • Una altura es cada una de las perpendiculares trazadas desde un vértice hasta el lado opuesto.

    • La apotema es la línea perpendicular trazada desde el centro del polígono a uno de sus lados.

    Cuerpos geométricos en el espacio

    Los estudios geométricos elementales se centran en buena medida en los denominados poliedros y cuerpos de revolución. En conjunto, estas dos clases de objetos son cuerpos en el espacio cerrados y confinados por superficies planas. En el caso de los poliedros, estas superficies son polígonos, que se engarzan unos con otros para conformar una figura cerrada. Poseen lados y vértices comunes y en su interior encierran una porción de espacio.

    Por su parte, los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una figura plana alrededor de un eje, que recibe la denominación de generatriz. Los ejemplos característicos de los cuerpos de revolución son el cono, el cilindro y la esfera.

    Según se ha expresado, un poliedro es un cuerpo en el espacio cuyas superficies de delimitación son polígonos. En los poliedros pueden definirse varios elementos constituyentes:

    • Cada uno de los polígonos que delimitan el poliedro se denomina cara.

    • La confluencia entre dos caras recibe el nombre de arista y se define como el lado común a ambas.

    • Tres caras de un polígono concurren en un punto denominado vértice.

    • El ángulo que forman dos caras con una arista en común se conoce como ángulo diedro.

    • Un ángulo poliédrico es el que forman las caras que tienen un vértice en común.

    Por la forma de sus caras, los poliedros son clasificados en regulares e irregulares (v. tabla 3). Un poliedro se dice regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales, de manera que en cada vértice concurre siempre un mismo número de aristas. Por otra parte, el número de caras de un poliedro determina otro tipo de clasificación: los tetraedros tienen 4 caras; los pentaedros, 5; los hexaedros, 6, y así sucesivamente (heptaedros, 7; octaedros, 8; decaedros, 10; dodecaedros, 12; icosaedro, 20).

    Desarrollo plano de un paralelepípedo. Los poliedros admiten en general más de un desarrollo plano diferente.

    En el estudio de los poliedros resulta de interés la descomposición de los mismos en un plano. Esta figura sería la resultante de «abrir» el poliedro en alguna o algunas de sus aristas, de manera que pudiera desplegarse sobre una mesa al estilo de muchos juegos de mesa infantiles. La figura 6 ilustra el desarrollo plano de un paralelepípedo, poliedro delimitado por seis paralelogramos que forman caras paralelas dos a dos.

    Como se ha indicado anteriormente, se llaman poliedros regulares aquéllos cuyas caras son polígonos regulares y en cuyos vértices concurre siempre un mismo número de aristas. Las figuras que cumplen estos requisitos en la naturaleza son muy escasas: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

    Tabla 3. Características de los poliedros y los cuerpos de revolución.

    Tabla 3. Características de los poliedros y los cuerpos de revolución.

    Tabla 3. Características de los poliedros y los cuerpos de revolución.

    Por otra parte, en el estudio de los cuerpos en el espacio existen otros poliedros no regulares de notable interés en la geometría elemental. Tales son los prismas, las pirámides y los paralelepípedos, delimitados por figuras planas; y los cuerpos de revolución, cono, cilindro y esfera, delimitados por figuras curvas (v. tabla 3).

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