Funciones. Conceptos y definiciones

    De Jean-Baptiste Fourier se dice que era un hombre obsesionado por el calor. A este aristócrata, residente en Ginebra durante buena parte de su vida, a caballo entre los siglos XVIII y XIX, cabe atribuir algunas de las investigaciones más sobresalientes de su tiempo en el campo de las funciones matemáticas. También fue inventor de las llamadas transformadas de Fourier, uno de los artilugios matemáticos de mayor utilidad en numerosos ámbitos de la física, la técnica y la ingeniería.

    Fourier acompañó a Napoleón Bonaparte en sus campañas de Egipto en 1798. Según sus biógrafos, le movió a ello su pasión por la arqueología, la cual le hizo completar un exhaustivo estudio y catalogación de los vestigios arquitectónicos y escultóricos del antiguo Egipto. Otros estudiosos sugieren una motivación suplementaria: su amor por los ambientes cálidos, como la temperatura de su casa ginebrina, caldeada con estufas, un suplicio insoportable para sus abrumados visitantes.

    Concepto de función

    Las funciones constituyen, probablemente, uno de los conceptos más importantes y utilizados en el campo de las matemáticas. Son entes que permiten expresar de manera sencilla la relación entre magnitudes asociadas. En el ámbito de las leyes físicas, existen relaciones conocidas, por ejemplo, entre el espacio recorrido por un móvil que se desplaza a velocidad constante y el tiempo que transcurre. Si la velocidad del móvil fuera de 60 km/h, podría estimarse la distancia recorrida según la siguiente tabla:

    Se dice entonces que el espacio recorrido, s, es una función del tiempo, t. Esta relación o función puede escribirse matemáticamente de la forma siguiente:

    s = 60 · t

    En el lenguaje al uso, s puede expresarse como f (t), función de t, con lo que la anterior expresión se denotaría como:

    f(t) = 60 · t

    Es posible definir funciones semejantes en otros muchos aspectos de la ciencia, la técnica o la vida cotidiana. Un ejemplo clásico es el del cobro del servicio telefónico. En su modelo corriente de contratación, las operadoras de telefonía cobran una cuota fija por el establecimiento de llamada y una cantidad variable que depende de la duración de la misma. Esta fórmula puede resumirse en una función que permite determinar la cantidad de cobro para cualquier duración de llamada:

    f(t) = a + b · t

    siendo a la cuota por establecimiento de la comunicación, b la cuota variable por tiempo y t el tiempo expresado en minutos (u otra unidad, según las leyes).

    De este modo, el de función es un concepto sencillo con profundas implicaciones en múltiples ramas de la ciencia. Sobre él investigaron algunos de los matemáticos más destacados de la historia, desde René Descartes e Isaac Newton a Jean-Baptiste Fourier o al insigne Leonhard Euler.

    La idea de función se encuentra estrechamente ligada a las de correspondencia y aplicación. Una función real de variable real, que es como se conoce estrictamente, es una correspondencia que asigna a un número real simbolizado por x un número real único representado por y = f (x). En lenguaje matemático, lo anterior se expresa como:

    f : D R, siendo D R

    x y = f(x)

    El subconjunto D de números reales recibe el nombre de dominio de definición de la función. En ocasiones consistirá en todo el conjunto R de los números reales, como en una función del tipo f(x) = x + 2, que tiene sentido para cualquier x R. A su vez, x se conoce por variable independiente e y = f(x) como variable dependiente.

    Dominio de definición y recorrido

    El dominio de definición de una función se define como el conjunto de los números reales para los cuales puede ésta aplicarse. Es decir, recuperando la escritura simbólica del lenguaje de funciones, son los valores de x para los que f(x) tiene sentido. Es frecuente denotar este subconjunto como dom (f) o, simplemente, D.

    En los ejemplos de función ofrecidos al inicio del capítulo es sencillo comprender que el dominio de definición no cubre todo el conjunto R. No tiene sentido preguntar la distancia que ha recorrido un móvil en un tiempo de –3 horas o cualquier otro valor negativo, ni la tarifa que debe cobrarse por una llamada de –2 minutos. En ambos casos, el dominio de definición es el de los números reales positivos, es decir, R+.

    En otras situaciones, el dominio comprende todo el conjunto R menos algunos puntos especiales. Por ejemplo, la función

    y = f(x) =

    está definida para todo el conjunto R salvo el 0. Así, su dominio de definición será R – {0}.

    Tabla 1. Definición de intervalos.

    Es corriente describir el dominio de definición de una función en forma de intervalos de números reales. Estos intervalos pueden ser de varias clases:

    • Un intervalo es abierto, y se denota por (a, b), cuando comprende todos los números reales comprendidos entre a y b pero sin incluir a éstos.

    • El intervalo es cerrado, denotado por [a, b], si comprende los números reales entre a y b incluyendo a éstos.

    • El intervalo se dice semicerrado por la derecha (o semiabierto por la izquierda), lo que se simboliza por (a, b], si incluye a todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

    • Un intervalo es semicerrado por la izquierda (o semiabierto por la derecha), expresado por [a, b), cuando incluye a los números reales mayores o iguales que a y menores estrictamente que b.

    Los valores a y b se denominan extremos del intervalo (v. tabla 1).

    En los ejemplos mencionados de la función espacio-tiempo y las tarifas telefónicas, el dominio de definición puede escribirse como

    dom(f) = (0, + )

    Cuando el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales, con la excepción del cero, teniendo en cuenta las clases de intervalos ya expuestas, se usa la notación

    dom(f) = ( , 0) (0, + )

    Otro ejemplo ilustrativo de escritura del dominio de definición se da en la función de tipo

    Tabla 2. Valores concretos de los números reales –4 a +4.

    Como es bien sabido, en el conjunto no existen raíces cuadradas de números negativos. Por tanto, estarán fuera del dominio aquellos valores en los que x2 – 1 < 0. Resolviendo esta inecuación

    En el intervalo (–1, 1), la función no está definida, luego su dominio es

    dom(f) = (– , –1] [1, + )

    El conjunto de los valores que puede tomar una función es su conjunto imagen, también llamado recorrido. Se expresa comúnmente como im (f).

    Representación de funciones

    Aunque el concepto de función resulta bastante preciso a partir de su definición matemática, para comprenderlo y familiarizarse con él, es muy interesante recurrir a representaciones visuales. Estas representaciones se efectúan por medio de tablas y de sus gráficas asociadas.

    Sea, por ejemplo, la función f(x) = x + 2. Para apreciar su esencia, puede fabricarse una tabla a partir de una serie de valores concretos, a ambos lados del 0 de los números reales. Algunos de los valores se representan en la tabla 2.

    Ahora es posible representar estos valores en un sistema de ejes de coordenadas, con la variable independiente x en el eje horizontal o de abscisas y la variable dependiente f(x) o y en el vertical o de ordenadas.

    Algunas gráficas de funciones especiales de las matemáticas poseen un perfil muy característico.