Funciones reales de variable real

    La idea esencial de funcionalidad en los cálculos matemáticos, es decir, de búsqueda de las relaciones sistemáticas que existen entre las cantidades numéricas, es una de las más antiguas en la historia de la ciencia. Hoy en día se tiende a asociar el concepto de función con el de la fórmula que lo expresa. Sin embargo, en su fundamento, las funciones son abstracciones matemáticas que pretenden resumir, en un lenguaje condensado, las relaciones generales que asocian los elementos de un conjunto de números dado con los datos de otro conjunto.

    De este modo, los historiadores de las matemáticas han señalado que los orígenes de la noción de función bien podrían remontarse como mínimo a tiempos de los antiguos babilonios. Éstos expresaban las funciones por medio de tablas y de correspondencias. Otros expertos, empero, han optado por asignar el descubrimiento de este concepto a matemáticos posteriores, que lo asociaron a la idea de dependencia entre cantidades. Hombres insignes de la historia de la ciencia como Galileo Galilei, Gottfried von Leibniz y Johann Bernoulli trabajaron en la dirección de la matemática moderna. Con todo, la primera definición de función con las connotaciones que implica en la actualidad se debe, como tantos otros logros, al suizo Leonhard Euler, por muchos considerado un verdadero «príncipe de las matemáticas».

    Familias de funciones

    A la vista de la definición de función real de variable real es fácil comprender que el número y la diversidad de las funciones matemáticas son enormemente amplios. No en vano, las funciones sirven para correlacionar, mediante expresiones formales rigurosas, variables de diversa índole, como el espacio recorrido por un móvil y el tiempo transcurrido, la temperatura y la energía de un cuerpo, el comportamiento de los mercados bursátiles, el precio del dinero y otras muchas y complejas variables.

    Las funciones se emplean así para modelizar fenómenos de la naturaleza, la economía, la tecnología y otros productos de la actividad humana. Igualmente, se usan como base de artificios matemáticos de múltiples aplicaciones teóricas y prácticas.

    El amplio desarrollo del estudio de funciones ha dado pie para definir una serie de grandes familias de ellas, que comparten ciertas características en cuanto a tendencias de crecimiento-decrecimiento, patrones de periodicidad, intervalos de continuidad y discontinuidad, etc.

    Desde un punto de vista genérico, puede distinguirse entre funciones constantes, periódicas y aperiódicas. Las funciones constantes son aquellas para las que las imágenes toman siempre un mismo valor. Su expresión algebraica es del tipo:

    f(x) = k

    siendo k una constante.

    En un lenguaje formal, puede decirse que una función es constante en un cierto intervalo si para dos valores cualesquiera de dicho intervalo, x1 y x2, se verifica que:

    f(x1) = f(x2)

    La representación gráfica de una función constante es la de una línea recta horizontal. Por ejemplo, la función f(x) = 2 se representa en la figura 1.

    Gráfica de la función constante f(x) = 2.

    Por su parte, las funciones periódicas se caracterizan porque sus imágenes se repiten de forma regular en intervalos de la misma longitud. Estos intervalos reciben el nombre de periodos. Un ejemplo gráfico de función periódica podría ser el de la figura 2.

    Gráfica de una función periódica, en este caso una función sinusoidal cuyo periodo es [0, 2π].

    Las funciones que no cumplen esta cualidad se dicen aperiódicas. Finalmente, es posible clasificar las funciones atendiendo al tipo de expresión matemática que las define. En este contexto, cabe hablar de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas como las clases o familias más sobresalientes.

    Funciones polinómicas

    Se llama funciones polinómicas a aquéllas cuya expresión algebraica es la de un polinomio. La forma matemática general de una función polinómica es:

    f(x) = anxn + an–1xn–1+ an–2xn–2+…+ a2x2 + a1x + a0

    donde los términos ai, con 0 < i < n, son los coeficientes del polinomio y x, la variable independiente.

    Una característica importante de las funciones polinómicas es que están definidas para todo el conjunto de los números reales. Es decir, su dominio de definición es R, o bien (– , + ).

    El grado de una función polinómica se define por el valor del exponente máximo n. Cuando n = 1, la función polinómica es de primer grado y tiene la expresión general:

    f(x) = ax + b, con a 0

    Este tipo de función se denomina también afín y su representación gráfica es una línea recta. De los coeficientes de la función, a es la pendiente de la recta y mide la inclinación de ésta con respecto al eje horizontal o de abscisas. El coeficiente b, por su parte, es el corte de la recta con el eje vertical o de ordenadas. Cuando el coeficiente b, también llamado ordenada en el origen, es nulo, la función se escribe como:

    f(x) = ax

    y es de proporcionalidad directa. Se da, por ejemplo, en numerosos trabajos a destajo; el salario del trabajador es directamente proporcional al número de horas de labor: el precio estipulado para una hora se duplica para 2 horas, se triplica para 3 horas, etc. Este tipo de relación puede escribirse por medio de la expresión precedente.

    Funciones cuadráticas

    Las funciones polinómicas de segundo grado son del tipo:

    f(x) = ax2 + bx + c

    siendo a 0. Estas funciones, también denominadas cuadráticas, tienen en general una forma parabólica. Las funciones polinómicas de segundo grado son muy útiles en el estudio de los movimientos físicos. Un ejemplo característico de función cuadrática es el que describe el movimiento de las masas afectadas por la fuerza de la gravedad (v. figura 3).

    Gráfica de una función cuadrática, asimilable a un polinomio de grado 2.

    Funciones racionales

    La suma, resta y producto de funciones polinómicas dan como resultado una nueva función polinómica definida igualmente para todo el conjunto R de los números reales y calculada según las pautas habituales de estas operaciones algebraicas. Sin embargo, el cociente entre funciones polinómicas produce una nueva clase de función denominada racional. Su expresión genérica es la siguiente:

    donde P(x) y Q(x) son dos funciones polinómicas. El dominio de definición de una función racional es todo el conjunto de los números reales, R, salvo aquellos valores para los que se anula el denominador, esto es, la función Q(x). En lenguaje algebraico:

    dom(f) = R – {x/Q(x) = 0}

    Sea, por ejemplo, la función racional:

    de manera que: P(x) = x2 + 5x – 2 y Q(x) = x + 2. El dominio de definición de esta función es dom (f) = R– {–2}, pues Q (–2) = 0.

    Un caso particular interesante de función racional tiene la expresión:

    siendok una constante. Esta función se dice de proporcionalidad inversa, ya que el valor origen de la misma, x, y su imagen, f(x), son inversamente proporcionales: al aumentar el primero disminuye la segunda de manera proporcional, y viceversa.

    La proporcionalidad inversa se da en situaciones corrientes de la vida cotidiana. Por ejemplo, si se supone que un pintor tarda 2 días en pintar una habitación, si trabajaran dos pintores el tiempo de trabajo habría de reducirse a la mitad. Ésta es una situación típica de proporcionalidad inversa, en este caso entre número de pintores y tiempo: al aumentar el primero, disminuye el segundo.

    Funciones definidas a trozos

    Otra clase de función definible en el conjunto de los números reales es aquélla que responde a diferentes expresiones algebraicas para distintos intervalos numéricos. Las funciones de este tipo se dicen definidas a trozos.

    Según las características de las funciones definidas a trozos, éstas pueden presentar saltos o no en los puntos de «engarce» entre los intervalos. La valoración de estos posibles saltos y, en consecuencia, de la continuidad o discontinuidad de la función, será uno de los aspectos primordiales de su estudio analítico.

    Un ejemplo de función definida a trozos puede ser el siguiente:

    El dominio de este tipo de funciones se determina revisando los dominios de definición de cada uno de sus trozos. En el ejemplo anterior, para x < 0, esto es, el intervalo (– ,0) la función está definida para todo el intervalo. En cambio, para x > 0, correspondiente al intervalo (0,+ ), la función no está definida en el punto x = 1.

    En consecuencia, el dominio de definición de esta función definida a trozos es:

    dom(f) = (– ,0) (0,+ ) – {1}

    Funciones exponenciales y logarítmicas

    Las funciones exponenciales asignan a cada número real x un valor positivo del tipo ax, siendo a distinto de la unidad. Es decir:

    f(x) = ax, siendo a > 0 y a 1

    El número a se denomina base de la función exponencial. Cuando dicha base es el número e, la base de los logaritmos neperianos o naturales, la función exponencial adopta la forma general:

    f(x) = ex

    Esta función tiene particular importancia en el estudio de los fenómenos periódicos y oscilatorios de la naturaleza. Como singularidad, su derivada coincide con esa misma función.

    El dominio de las funciones exponenciales puras es todo el conjunto R, ya que para cualquier valor real existe su exponencial. La imagen o recorrido de la función es el conjunto de los números reales positivos, es decir, R+ = (0,+ ).

    Por su parte, las funciones logarítmicas asocian a cada número real positivo su logaritmo en una base dada a. Es decir:

    f(x) = loga x, siendo a > 0, a 1

    El dominio de definición de una función logarítmica de este tipo es el de los números reales positivos, R+ = (0,+ ), ya que no existen logaritmos reales de números negativos. Las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas son muy características y reconocibles.

    Funciones trigonométricas

    Se conocen como funciones trigonométricas las que asocian a un ángulo x un valor f(x) dentro del conjunto de los números reales. En general, son funciones trigonométricas las que incluyen en su expresión algebraica senos, cosenos, tangentes, cotangentes, secantes y cosecantes. Las funciones trigonométricas más sencillas son:

    f(x) = sen x

    f(x) = cos x

    f(x) = tg x

    Las funciones trigonométricas tienen un carácter periódico, dado que los senos, cosenos, tangentes, etc., de los ángulos se repiten en periodos de 2 rad (360°). Ello se debe a que:

    sen x = sen(x + 2k ), siendo k = constante

    cos x = cos(x + 2k ), siendo k = constante

    tg x = tg(x + 2k ), siendo k = constante

    En las funciones seno y coseno, el dominio de definición es todo el conjunto de los números reales. En cambio, la función tangente presenta puntos de no definición, ya que:

    De este modo, la función f(x) = tg x no está definida para aquellos valores en los que cos x = 0. Dichos valores son:

    Por lo tanto, el dominio de la función tangente es:

    Funciones trigonométricas inversas. Dentro de la familia de las funciones trigonométricas se incluyen también sus funciones inversas. Tales funciones se representan como:

    f(x)= arcsen x

    f(x)= arccos x

    f(x)= arctg x

    f(x)= arccosec x

    f(x)= arcsec x

    f(x)= arccotg x

    Las funciones trigonométricas inversas, según la definición de estas funciones, son aquellas que restituyen el valor del ángulo conocido su seno, coseno, tangente y restantes razones trigonométricas.