Derivada de una función

    El reconocimiento de la invención del cálculo diferencial, del que la idea de derivada forma parte sustancial, fue motivo de una enconada disputa entre dos de las mentes más privilegiadas de la Edad Moderna: el inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried von Leibniz. Basándose en los trabajos previos de René Descartes, Christiaan Huygens y otros pensadores y científicos, ambos diseñaron, por separado, los rudimentos de lo que iba a constituirse en una de las herramientas matemáticas más poderosas de la ciencia.

    La historia ha valorado por igual los méritos de los dos rivales, atribuyendo a ambos la invención del cálculo diferencial y considerando sus desarrollos como mutuamente complementarios. Con ello, vino a hacerse justicia en este aspecto al genio de Leibniz, puesto que el de Newton fue ya reconocido indiscutidamente en su tiempo.

    En la cima de su fama, Newton era presidente de la Royal Society de Londres cuando la polémica sobre la autoría del cálculo diferencial alcanzó sus momentos de máxima tensión. El científico inglés no desaprovechó esta posición para influir en el dictamen, naturalmente a su favor, que sobre el asunto emitió la sociedad científica londinense. Es más, el propio Newton no dudó, incluso después de muerto Leibniz, en seguir divulgando sus propios méritos en detrimento de los del fenecido pensador alemán.

    Derivada de una función en un punto

    El concepto de derivada vino, en el momento de su invención, a resolver un problema geométrico surgido tiempo atrás: el del cálculo de la ecuación de la tangente a la gráfica de una función en un punto. Geométricamente, dada una recta el valor de su pendiente mide el grado de inclinación de la misma con respecto al eje X. En la figura 1 se ilustra este significado.

    La pendiente de una recta mide el grado de inclinación de la misma con respecto al eje horizontal.

    De la observación de la recta de la figura 1 se deduce que la pendiente de la misma puede expresarse como:

    Imaginemos ahora que la línea trazada no es una recta, sino una curva definida por la función f(x) que pasa por los dos mismos puntos que la recta marcada (figura 2). En tal caso, el valor equivalente de la pendiente de la recta secante a la curva vendría dado por:

    Esta cantidad puede interpretarse como el grado de cambio que experimenta la función f(x) en el intervalo de valores comprendido entre a y b, es decir [a, b]. Dicho grado de cambio recibe el nombre de tasa de variación media de la función en el intervalo.

    Representación de una función que pasa por los dos mismos puntos que la recta de la figura 1. Como se observa, la recta es secante con respecto a la curva de la función.

    El concepto anterior aboca finalmente al de la derivada de la función en un punto, entendido como una tasa de variación «instantánea» de la función. Imagínese que el punto b se acerca indefinidamente al a. En el límite, dichos puntos a y b se encontrarían infinitesimalmente próximos, tendiendo a coincidir. De igual modo, la recta secante que cortaba a la curva según la figura 2 tiende a hacerse tangente a la misma, según se ilustra en la figura 3.

    Cuando los puntos a y b están infinitesimalmente próximos, la recta secante tiende a hacerse tangente a la curva.

    Llamando h a la distancia que separa los dos puntos dados, la tasa de variación media se expresaría como:

    De este modo, cuando en la anterior expresión el valor de h tiende a cero y los dos puntos se aproximan indefinidamente entre sí, se obtiene la llamada tasa de variación instantánea de la función en el punto o, lo que es lo mismo, su derivada. En la notación acordada por convenio, la derivada de una función f(x) en el punto a se escribe f’(a) y se define como:

    Por tanto, la derivada de una función en un punto es un límite. Si tal límite existe en el punto en cuestión, se dice que la función es derivable en él. Debe observarse que otra forma común de denotar la derivada de una función f(x) en un punto a dado es:

    Las formas df(a) y dx tienen entidad propia en matemáticas y se conocen como diferenciales. De igual manera que la obtención de la derivada de una función es una operación conocida como derivación, existe una operación íntimamente relacionada con la misma llamada diferenciación. Así, dada una función genérica y = f(x), al diferenciarla se tendría que:

    dy = df(x) = f’(x)dx

    Interpretación geométrica de la derivada

    En el apartado precedente se ha relacionado la noción de la derivada de una función en un punto con la pendiente de la recta que es tangente a la curva de la función en dicho punto. La ecuación de una recta puede escribirse en la forma:

    y = mx + n

    Esta ecuación se verifica para todos los puntos de la recta. Para un punto dado de la misma de coordenadas (x0, y0), se cumplirá así la igualdad:

    y0 = mx0 + n n = y0 – mx0

    Sustituyendo este valor de m en la ecuación general de la recta, se tiene que:

    y = mx + (y0 – mx0) y – y0 = m(x – x0)

    Esta ecuación de la recta se denomina forma punto-pendiente, pues se construye conociendo las coordenadas de uno de sus puntos y la pendiente de la recta (en este punto y en todos los demás, ya que es constante para toda la recta). La derivada de una función en un punto proporciona el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en dicho punto, hecho que se conoce como significado geométrico de la derivada. En resumen, si se desea obtener la tangente a y = f(x)en x = a, teniendo en cuenta que el punto de contacto tangente-función será el (a, f(a)), aplicando el significado geométrico de la derivada ya enunciado, nos dará como solución:

    y – f(a) = f’(a)(x – a)

    Función derivada

    La aplicación directa de la definición de derivada y el uso de las reglas de cálculo de límites hacen posible, y a menudo relativamente sencillo, calcular el valor de la derivada de una función en un punto. Sea, por ejemplo, la función f(x) = 3x2. Desde luego, sería posible determinar el valor de su derivada en alguno de sus puntos como, por ejemplo, x = 3 o cualquier otro.

    Sin embargo, tiene mayor interés aplicar esta definición para un punto genérico denotado, por razones de sencillez, por x. Por aplicación directa de la definición de derivada de la función en un punto genérico x, se tendría que:

    Por tanto, dada la función f(x) = 3x2, su función derivada se obtiene como f’(x) = 6x. Todo este razonamiento presupone que la función es derivable en el entorno considerado. Recuérdese que se dice que una función es derivable en un punto si existe su derivada (el límite dado por la definición) en ese punto en concreto. Extendiendo el concepto, la función será derivable en un intervalo comprendido entre dos puntos dados, [a, b], si es derivable en todos y cada uno de los puntos pertenecientes a este intervalo.

    En general, el concepto de derivabilidad es extensible a grupos amplios de valores del conjunto de los números reales. Muchas funciones son derivables para todo el conjunto R, como, por ejemplo, las funciones polinómicas o las trigonométricas de seno y coseno. Otras lo son únicamente para partes concretas de este conjunto.

    En general, dada una función y = f(x), la función derivada de la misma se define en lenguaje matemático como:

    En este punto sería posible, aplicando el mismo procedimiento, calcular el valor de la derivada de la función f’(x), que se conoce como derivada segunda y se denota por f’’(x). Sucesivamente, pueden calcularse las derivadas tercera, cuarta, etc., de una función f(x), que se simbolizan como: f3(x), fi4x), f5(x), etc. Las derivadas segunda, tercera y sucesivas tienen interés en el estudio analítico de una función y, en concreto, en la determinación de sus pautas de crecimiento/decrecimiento y concavidad/convexidad.

    Cálculo de derivadas

    El razonamiento seguido en el apartado anterior para determinar el valor de la función derivada de una función f(x) dada puede extenderse a todo tipo de funciones. Ello permite compilar una tabla de derivadas de las funciones elementales que servirá de base de trabajo para obtener los cálculos de derivación de funciones más complejas.

    En la tabla 1 se muestra de modo sintetizado el valor de las derivadas correspondiente a las funciones elementales más corrientes en matemáticas. Todas estas derivadas se obtienen por medio de una generalización del tipo de razonamiento indicado en el apartado precedente. En la parte inferior de la tabla se incluyen resumidas las principales reglas de derivación que se exponen más adelante.

    Tabla 1. Tabla de derivadas y reglas de derivación.

    Tabla 1. Tabla de derivadas y reglas de derivación.

    A título de ejemplo, se verá a continuación cómo aplicar la tabla de derivadas a un caso sencillo. Consideremos, por ejemplo, la función polinómica:

    f(x) = x3

    Para obtener la derivada de esta función se recurrirá a la expresión general:

    y = xn y’ = n · xn–1

    Así, la función polinómica tendrá como función derivada:

    f(x) = x3 y’ = f’(x) = 3 · x31= 3x2

    Reglas de derivación

    A partir de la tabla de derivadas de funciones elementales resumida en la tabla 1 es posible calcular las derivadas de funciones más complejas. Para ello, es preciso aplicar una serie de reglas de derivación, que se expresan aquí resumidamente:

    1. La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función:

    y = k · f(x) y’ = k · f’(x)

    2. La derivada de la suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de sus derivadas:

    y = f(x) g(x) y’ = f’(x) g’(x)

    3. La derivada del producto de dos funciones se calcula como el producto de la derivada de la primera función por la segunda función más la primera función por la derivada de la segunda:

    y = f(x) · g(x) y’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)

    4. La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda, dividido todo ello por la segunda función al cuadrado:

    Estas cuatro reglas, junto con la regla de la cadena que se explica a continuación, se recogen en la parte inferior de la tabla 1. Ahora puede proponerse un ejemplo sencillo de aplicación: una función polinómica algo más compleja que la ejemplificada anteriormente:

    y = 4x3 + 3x2 + 2

    Por la regla 2 se deduce que el cálculo de esta derivada se realiza aplicando por separado el cálculo para cada uno de los términos del polinomio. Además, dentro de cada término tiene vigencia la regla 1, que permite «extraer» el coeficiente de la operación de derivación. En resumen, la derivada de la anterior función se obtiene como:

    y = 4x3 + 3x2 + 2 y’ = 4·(3·x2) + 3·(2·x1) + 0 = 12x2 + 6x

    Regla de la cadena. Esta técnica de derivación es de gran importancia, dado que permite obtener derivadas de la composición de funciones. En esencia, se enuncia del modo siguiente: la derivada de una composición de funciones y = f(g(x)) se calcula como el producto de la función f aplicada sobre g(x) por la derivada de g. Matemáticamente:

    y = f (g(x)) y’ = f’(g(x)) · g’(x)

    Considérese, por ejemplo, la siguiente función:

    y = (x4 + 2x)3

    Esta función puede considerarse como una composición de las funciones siguientes:

    f(x) = x3

    g(x) = x4 + 2x

    Las funciones derivadas de estas dos funciones son inmediatas:

    f(x) = 3x2

    g(x) = 4x3 + 2

    Ahora, para aplicar la regla de la cadena debe saberse que:

    f’(g(x)) = 3·(x4 + 2x)2

    Por tanto, la derivada de la función compuesta será:

    y’ = f’(g(x)) · g’(x) = 3 · (x4 + 2x)2· (4x3 + 2)

    Derivabilidad y continuidad

    La existencia de la derivada de una función en un punto garantiza que dicha función es continua en ese punto. En cambio, una función continua en un punto dado no es necesariamente derivable en el mismo. Por último, existe la certeza de que si una función no es continua en un cierto punto, tampoco será derivable en el mismo. En resumen:

    • Si f(x) es derivable en x = a, será continua en a.

    • Si f(x) es discontinua en x = a, no será derivable en a.

    • Si f(x) es continua en x = a, no puede saberse a priori si es derivable o no en ese punto.

    Estas relaciones entre continuidad y derivabilidad poseen un alto interés en el estudio analítico de las funciones y de sus propiedades.

    Regla de L’Hôpital

    La regla de L’Hôpital y se aplica únicamente a funciones derivables en el punto en cuestión y afirma lo siguiente: dadas dos funciones f y g derivables en un intervalo abierto que contiene al punto a, si f(a) = g(a) = 0 y existe el límite

    entonces se verifica que:

    De este modo, la regla de L’Hôpital se aplica al caso en el que al calcular un límite se obtiene una indeterminación de naturaleza 0/0. Para resolver esta indeterminación, y en las condiciones señaladas, es posible sustituir las funciones numerador y denominador por sus derivadas respectivas.

    Un caso característico de aplicación de la regla de L’Hôpital se da en la función:

    El cálculo del límite de esta función cuando x tiende a 0 produce la siguiente indeterminación:

    dado que sen 0 = 0. Ahora bien, si se escribe:

    la función g(x) = sen x es continua y derivable en todo el conjunto de los números reales, y lo mismo sucede con h(x) = x. Así pues, en este caso se dan todas las condiciones para poder aplicar la regla de L’Hôpital. Por tanto:

    Es sencillo demostrar que la regla de L’Hôpital puede utilizarse, en el mismo sentido que el explicado, para indeterminaciones de la clase / . Análogamente, sirven para resolver indeterminaciones de potencias, del tipo 1, 00, 0 e 0. La clave de su empleo consiste en «transformar» estas indeterminaciones en otras expresiones de fórmula indeterminada 0/0.

    A continuación se propone un ejemplo de aplicación de esta técnica de derivación. Consideremos la expresión:

    Sustituyendo 0 directamente en la fórmula, se obtiene una indeterminación de la clase 0–∞. Para convertirla en algo más «asequible», se tomarán logaritmos neperianos a ambos lados de la ecuación:

    Esta nueva expresión produce una indeterminación de tipo / , por lo cual admite también la regla de L’Hôpital:

    Ahora se tiene una indeterminación de tipo 0/0, con lo que puede utilizarse de nuevo la regla de L’Hôpital:

    Teoremas de la continuidad

    El concepto de derivada tiene particular utilidad en los estudios de continuidad de funciones. En concreto, encuentra aplicación en el postulado de varios principios de la continuidad de singular interés que se conocen como teoremas de Rolle, de Cauchy y del valor medio.

    El teorema de Rolle establece que si una función f(x) es continua en un cierto intervalo cerrado de puntos [a, b] y es derivable en el intervalo abierto (a, b), de tal manera que se verifica que f(a) = f(b), entonces se cumple el hecho de que al menos existe un punto del intervalo en el que la derivada de la función es igual a 0.

    Existe una interpretación geométrica interesante del teorema de Rolle. Dado que la función es continua y derivable en el intervalo considerado, el hecho de que la derivada (es decir, la tangente a la curva) se anule en algún punto correspondiente al intervalo significa que en ese punto la curva es horizontal.

    Dicho de otro modo, en las condiciones citadas, una función continua y derivable sólo puede volver al mismo valor de la función si hay, al menos, un máximo o un mínimo en el intervalo en cuestión (v. figura 4).

    Ilustración del teorema de Rolle.

    Por otra parte, el teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones denotadas por f y g, que son continuas en un intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervalo abierto (a, b), de manera que las derivadas de las funciones no se anulan en ningún punto del intervalo (a, b) y la función g toma valores distintos en a y b, existe algún punto x0 del intervalo que cumple que:

    Ilustración del teorema del valor medio.

    Un tercer postulado interesante en el estudio de la continuidad se conoce por el nombre de teorema del valor medio o de los incrementos finitos de Lagrange. Según este teorema, si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b), existe al menos un punto del intervalo, x0, que cumple lo siguiente:

    f(b) – f(a) = f’(x0)(b – a)

    Este teorema, que constituye una particularización del de Cauchy, cuando la función g(x) = x, indica que, en las condiciones citadas, existirá siempre un punto del intervalo tal que la tangente a la curva representativa de la función es paralela a la recta que pasa por los puntos [a, f(a)] y [b, f(b)] (v. figura 5).