Estudio analítico de funciones

    La representación gráfica de las funciones aporta una valiosa información acerca de sus propiedades, tendencias y comportamiento. Lejos de constituir un adorno teórico, apto predominantemente para matemáticos expertos, el estudio analítico de las funciones, que desemboca en representaciones visuales de la curva que describe su gráfica, presenta un amplio abanico de utilidades prácticas.

    El estudio analítico de las funciones obliga a determinar el dominio y el recorrido de la función, sus puntos de continuidad y discontinuidad, sus tendencias de crecimiento y decrecimiento, en su caso de tipo asintótico, sus cortes con los ejes y la presencia de máximos, mínimos y puntos de inflexión.

    Criterios para el estudio de funciones

    El estudio analítico de funciones constituye un ejercicio sistemático de comprensión del significado, la forma y las propiedades de una función. Por lo común, se realiza siguiendo un orden determinado que desembocará finalmente en el dibujo o representación gráfica en un sistema de ejes coordenados de la curva que ilustra la función. Aunque pueden darse algunas variantes de unos autores a otros, es corriente que los estudios analíticos se lleven a cabo aplicando los pasos siguientes en el orden que se indica:

    1. Dominio de la definición de la función.

    2. Puntos de corte con los ejes de coordenadas.

    3. Consideraciones sobre continuidad.

    4. Posibles simetrías y periodicidad de la función.

    5. Pautas de crecimiento y decrecimiento. Determinación de máximos y mínimos.

    6. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.

    7. Asíntotas horizontales y verticales.

    8. Asíntotas oblicuas.

    9. Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano.

    10. Representación gráfica.

    A continuación se profundizará en las particularidades de cada uno de estos aspectos, agrupándolos en cuatro grandes secciones: propiedades generales de la función (puntos 1 a 4), crecimiento, decrecimiento y curvatura (puntos 5 y 6), tendencias asintóticas (7 y 8) y análisis del comportamiento en las regiones del plano y representación gráfica (puntos 9 y 10).

    Propiedades generales de una función

    Al iniciar el estudio de una función debe plantearse en primer lugar cuáles son sus propiedades generales. Dichas propiedades se refieren a cuatro cuestiones diferentes: dominio de definición, puntos de corte con los ejes de coordenadas, continuidad, simetrías y periodicidad.

    Dominio de definición. El dominio de definición de una función corresponde al subconjunto de valores dentro del conjunto de los números reales para el que la función se encuentra definida. Basten dos ejemplos:

    • La función está definida para todos los números reales salvo los comprendidos entre –2 y +2, excluidos ambos, pues en tal caso el radicando sería un número negativo. Por lo tanto:

    • La función f(x) = log x está definida únicamente para los números reales positivos, ya que no existen logaritmos reales de números negativos. Es decir:

    dom(f) = (0, + )

    Puntos de corte con los ejes. La intersección de una función con los ejes de coordenadas es un dato interesante con vistas a concretar su representación gráfica. Para conocer los puntos de corte, deberán sustituirse por 0 las variables dependiente e independiente, siempre que el resultado esté comprendido dentro del dominio de definición de la función.

    Sea, por ejemplo, la función f(x) = x2– 1. El punto de corte con el eje de ordenadas, o vertical, será aquel para el que se anule la variable independiente, x = 0, es decir:

    f(0) = –1

    Luego el punto (0, –1) pertenece a la curva. Por su parte, la función cortará al eje horizontal allí donde se anula la imagen de la función, es decir:

    f(x) = 0 = x21 x = 1

    Por tanto, la curva de la función pasa por los puntos (1, 0) y (–1, 0), en los que corta al eje horizontal.

    Continuidad. En realidad, lo interesante al analizar una función no es su continuidad, sino los posibles puntos de discontinuidad que presenta. Para estudiar dichos puntos, comprender si en ellos existe una discontinuidad verdadera y valorar si ésta es evitable o inevitable (con saltos finitos o infinitos) deben seguirse las pautas relativas a los límites de funciones.

    Simetría y periodicidad. El estudio de la simetría de una función podría llamarse asimismo estudio de paridad. Así, se dice que una función es par si se verifica que f(–x) = f(x). Esto significa que la función es simétrica con respecto al eje vertical, pues al cambiar un valor por su opuesto se obtiene como imagen de la función el mismo resultado. Una función cuadrática, del estilo de f(x) = x2 +4, es simétrica con respecto al eje Y, ya que al cambiar x por (–x) se obtiene el mismo valor para f(x).

    Análogamente, una función es impar si al cambiar x por –x en la función se mantiene para la imagen un mismo valor absoluto pero cambiado de signo. Matemáticamente, la función f(x) es impar si se cumple que f(–x) = –f(x). En este caso, el eje Y actúa para la función como una especie de espejo invertido (v. figura 1).

    Por último, es interesante conocer si en la función existe algún tipo de periodicidad, esto es, de «repetición» de la curva en intervalos regulares. Una función es periódica si se cumple que:

    f(x) = f(x + T)

    siendo T el periodo o ciclo de repetición. Un ejemplo de función periódica es f(x) = sen x, ya que se cumple que sen x = sen(x + 2k ), siendo k cualquier número entero. Las periodicidades son propias en particular de las funciones trigonométricas.

    Resulta evidente que una inmensa mayoría de las funciones no serán simétricas ni periódicas. Sin embargo, cuando en una función se encuentra alguna de estas dos cualidades, se simplificarán extraordinariamente su comprensión y su representación.

    Crecimiento, decrecimiento y curvatura

    En el estudio de la gráfica de una función, resulta muy útil conocer las pautas de crecimiento o decrecimiento y de curvatura (concavidad o convexidad) de la función en distintas regiones. En esencia, debe decirse que para saber si una función es creciente o decreciente, cóncava o convexa, es preciso determinar el valor de sus derivadas. A partir del estudio del comportamiento de estas derivadas, se deducirá asimismo los valores de los llamados puntos críticos de la función: máximos, mínimos y puntos de inflexión.

    Ejemplo de funciones par e impar.

    Se dice que una función es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) cuando para todo par de puntos pertenecientes al intervalo, x1 y x2, se cumple que si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2). Es decir, cuando crece la variable independiente, también lo hace la dependiente. De igual modo, la función es estrictamente decreciente en el intervalo si dados dos puntos del intervalo, x1 y x2, se cumple que si x1 > x2, entonces f(x1) > f(x2).

    La derivabilidad de una función es un criterio fiable para conocer si una función es creciente o decreciente. Puede demostrarse que, si la función analizada es continua y derivable en un intervalo dado (a, b), será estrictamente creciente en el intervalo, si su derivada primera es positiva para todos los puntos del intervalo. Asimismo, cuando la derivada primera de la función sea negativa en todo el intervalo, la función será estrictamente decreciente en el mismo. Por supuesto, si la derivada primera es nula en todo el intervalo, la función no será ni creciente ni decreciente, sino constante.

    Por otra parte, para conocer las tendencias de curvatura de una función es preciso calcular la derivada segunda de la función. Las características de esta derivada segunda permitirán determinar si la función es cóncava o convexa en el intervalo objeto del estudio. Por definición, una función es cóncava en un intervalo (a, b), cuando dados dos puntos cualesquiera de la gráfica que representa a la curva, la recta que los une está siempre por debajo de la gráfica. La función será convexa si la recta de unión se sitúa en todo el intervalo por encima de la gráfica (v. figura 2).

    Ilustración de funciones cóncava (izquierda) y convexa (derecha) en un intervalo.

    Matemáticamente, se puede demostrar que una función es convexa en un cierto intervalo cuando su derivada segunda es positiva para dicho intervalo. En cambio, si la derivada segunda es negativa, la función será cóncava. Los puntos del intervalo en los que existe un cambio de curvatura, de convexa a cóncava o viceversa, se denominan puntos de inflexión y constituyen una de las tres clases de puntos críticos de una función.

    Puntos críticos

    Como se ha expresado precedentemente, la derivada de una función en un punto se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva representativa de la función en ese mismo punto. Según los razonamientos indicados, si la derivada de la función es positiva, la curva seguirá una pendiente positiva (ascendente), y la curva será creciente en ese punto. Inversamente, si la derivada es negativa, la función será decreciente en el punto.

    Ahora bien, ¿qué ocurre si la derivada es cero? Entonces, la función no será creciente ni decreciente sino que corresponderá a un extremo, esto es, un máximo o un mínimo relativo. En los máximos y mínimos se produce un cambio en la tendencia de crecimiento o decrecimiento de la curva, de igual modo que en los puntos de inflexión tiene lugar una variación en la tendencia de curvatura.

    Así pues, un máximo relativo de una curva representativa de una función en un intervalo dado es todo punto de dicho intervalo en el que la función pasa de ser creciente a decreciente. Análogamente, aquellos puntos del intervalo en los que la función cambia su tendencia de decreciente a creciente son mínimos relativos (v. figura 3).

    Los extremos relativos de una función son puntos en los que se invierte la tendencia de crecimiento de la curva que la representa, de creciente a decreciente (máximo) o de decreciente a creciente (mínimo).

    En el estudio analítico de funciones, la determinación de extremos (máximos y mínimos) relativos es una de las consideraciones más importantes. Si la función es continua y derivable en un intervalo dado, se procede a determinar la derivada primera de la misma y se iguala a cero (en un máximo o un mínimo, la recta tangente a la curva es horizontal). Después se calcula la derivada segunda de la función y se particulariza para cada uno de los valores que anulan la primera derivada:

    • La función tendrá un máximo relativo en el punto x = a si la primera derivada es 0, f’(a) = 0, y la segunda derivada es negativa (función cóncava), f”(a) < 0.

    • La función tendrá un mínimo relativo en el punto x = a si la primera derivada es 0, f’(a) = 0, y la segunda derivada es positiva (función convexa), f”(a) > 0.

    Se tiene un caso singular cuando la segunda derivada de la función es nula. En tal circunstancia es preciso determinar la tercera derivada de la función para el punto: si es distinta de cero, el punto estudiado será un punto de inflexión, con cambio de curvatura en la curva de la función. Si esta tercera derivada fuera también nula, habría que continuar derivando para determinar la naturaleza de máximo, mínimo o punto de inflexión del valor analizado de la variable independiente.

    Sea, por ejemplo, la función:

    Para determinar sus puntos críticos se calcula la derivada de la función y se iguala a cero:

    f’ (x) = x2 + 6x + 8

    Los máximos y los mínimos corresponden a valores para los que se anula el numerador:

    Luego los puntos críticos resultantes se dan en los valores de x iguales a –4 y –2. Se estudia a continuación el comportamiento de la derivada segunda en esos puntos. Dicha derivada segunda vendrá dada por:

    f’’(x) = 2x + 6

    Sustituyendo los valores de los puntos críticos, se tiene que:

    f’’(4) = 2·(4) + 6 = –2, hay un máximo

    f’’(2) = 2·(2) + 6 = +2, hay un mínimo

    Tendencias asintóticas

    El concepto de asíntota se ha expuesto ya con motivo del estudio de límites. El estudio de las tendencias asintóticas de las funciones reales de variable real es un elemento de alto interés que ayuda a completar adecuadamente su representación gráfica. En general, pueden distinguirse tres clases de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas.

    Para que una función tenga una asíntota horizontal es imperativo que cuando la variable independiente tiende a infinito, la función tenga un límite que sea un valor finito. Por ejemplo, dada la función:

    su límite cuando x tiende a viene dado por:

    Esta función tiene una asíntota horizontal en la recta y = 1.

    Por otra parte, para saber si una función presenta una asíntota vertical en un cierto punto es preciso determinar si al menos uno de sus límites laterales se hace infinito en este punto. Así pues, si se quieren conocer las posibles asíntotas verticales a las que tiende la curva de la función deben obtenerse aquellos puntos de discontinuidad de la función donde sus límites laterales sean + o – . Un ejemplo característico de función con asíntotas verticales es la función tangente, tal como se ilustra en la figura 4.

    La función tangente tiene asíntotas verticales en las rectas x = (2k + 1) /2, siendo k un número entero.

    Finalmente, las asíntotas oblicuas se calculan examinando las tendencias de la función cuando la variable independiente tiende a infinito. La figura 5 muestra un ejemplo de asíntota oblicua para la función:

    Ejemplo de función con tendencia a una asíntota oblicua, que es la recta y = x.

    Comportamiento en las regiones del plano

    Llegado este punto, se contará con una abundante información acerca del comportamiento de la función. Se habrán determinado su dominio de definición, puntos de corte con los ejes, simetrías y periodicidades, pautas de crecimiento y curvatura y tendencias asintóticas. Con este cúmulo de informaciones, para hacerse una idea muy aproximada de la forma definitiva de la función, puede procederse a un estudio de regionalización de la misma en el plano.

    Para este análisis de regionalización conviene fragmentar el plano en varias zonas verticales, marcando los siguientes hitos singulares en el eje X o de abscisas: punto de corte con el eje y puntos de discontinuidad. En estos puntos podrá producirse un cambio de signo de la función, cuya curva estará por encima o por debajo del eje horizontal. En los puntos de discontinuidad pueden observarse tendencias asintóticas, si alguno de dichos puntos coincide con el paso de una asíntota vertical.

    De este modo, analizando los signos, las asíntotas y partes positivas y negativas de la curva en el dominio de definición es posible dividir el plano en regiones que ofrezcan una indicación visual rápida del comportamiento de la función (v. figura 6). Para precisar aún más el dibujo de la curva, es posible complementar todo este estudio con una tabla de valores de x y f(x).

    Ejemplo de regionalización de una función.