Cálculo de integrales definidas

    No sería aventurado afirmar que el cálculo de integrales definidas se enmarca en el mismo afán de medición de superficies que inspiró el nacimiento de la geometría en los generosos campos del antiguo Egipto o del Creciente Fértil, en el actual Irak. En aquellos tiempos lejanos, se utilizaron procedimientos para dividir las tierras de cultivo, por medio de aproximaciones a modo de rectángulos, triángulos y otros diseños poligonales que permitían parcelar las propiedades.

    El encomiado esfuerzo de abstracción de los geómetras griegos, que dieron a esta actividad su condición de ciencia matemática, se vio reflejado, como en un espejo de la historia, en el siglo XVII con la invención del cálculo infinitesimal e integral. Nuevamente, el interés primigenio que alentaba algunas de estas investigaciones era encontrar métodos de medición de las áreas subtendidas bajo las líneas y las superficies curvas. Ello condujo al desarrollo de técnicas de integración hasta un grado tal de complejidad abstracta que ha permitido avanzar extraordinariamente en la descripción no sólo de su objeto primero, las áreas en el plano y los volúmenes en el espacio, sino también de algunos de los fenómenos más complejos y sorprendentes de la naturaleza.

    La integral definida

    La idea de integral definida surgió en la historia de las matemáticas como una respuesta a un problema de índole práctica: cómo calcular el área de un «rectángulo» formado por tres lados rectos y uno curvo. En tal sentido, se desarrolló paralelamente al cálculo diferencial y se planteó como un problema en el que intervenía de modo destacado el concepto de función que describe la curva matemáticamente (v. figura 1).

    La invención de las integrales definidas surgió de la necesidad de calcular las áreas de superficies formadas por tres lados rectos y uno curvo, como la sombreada en la imagen.

    Dado un intervalo cerrado de extremos a y b, denotado por [a, b], se define una función continua f(x) mayor o igual que 0 para todos los valores del intervalo tal que la integral definida de la función entre los extremos del intervalo, denominados límites, se corresponde con el área de la porción del plano comprendida entre la curva que representa a la función, el eje horizontal del sistema de coordenadas y las dos rectas verticales que pasan por los extremos del intervalo. Es decir, la integral definida entre los puntos a y b es la superficie delimitada por la curva descrita por la función f(x) y las rectas de ecuaciones:

    y = 0

    x = a

    x = b

    Para comprender mejor el concepto de integral ha de hacerse un pequeño ejercicio de imaginación. Consideremos el intervalo [a, b] dividido en una serie de intervalos menores definidos por los puntos siguientes, que cubren en fragmentos sucesivos la totalidad del intervalo:

    a = x0, x1, x2, x3, ..., xn = b

    En cada subintervalo i, que tiene una longitud de xi – xi–1, la función alcanza un valor mínimo en un punto mi y un valor máximo en Mi(v.figura 2). Por tanto, para cada subintervalo, el área subtendida bajo el fragmento de curva correspondiente estará comprendida entre la del rectángulo que la desborda por encima (para la altura máxima Mi) y el que la delimita por debajo (para la altura mínima mi). Por tanto, el área del subintervalo i, que se indicará como Si, está comprendida entre:

    (xi – xi–1) · mi Si (xi – xi–1) · Mi

    El área bajo la curva definida por la función y = f(x) está comprendida entre la suma de las áreas de los triángulos máximos y la de los triángulos mínimos.

    El área correspondiente a todo el intervalo, S, puede calcularse como la suma de la que se ha determinado para cada uno de estos intervalos. En consecuencia, estará comprendida entre los límites marcados por los rectángulos «superiores» a la curva y los rectángulos «inferiores». El área de los triángulos «inferiores», denominada suma inferior de Riemann, suele representarse por sn y se calcula como:

    Análogamente, el área total de los triángulos «superiores», o suma superior de Riemann, se denota por Sny toma el siguiente valor:

    Es evidente que la suma inferior de Riemann es siempre menor o igual que la suma superior. Ahora bien, siempre sería posible realizar una subdivisión de los subintervalos determinados anteriormente, con lo que se obtendrían nuevas sumas inferiores y superiores de Riemann, de manera que el área bajo la curva de cada uno de estos subintervalos estaría comprendida entre la suma inferior de Riemann de los sub-subintervalos y la suma superior.

    Cuando el número de subintervalos tiende a infinito, los límites de las sumas inferior y superior de Riemann toman el mismo valor, el cual coincide con el área real del recinto definido por el tramo de f(x) comprendido en [a, b], el eje x y las ordenadas correspondientes a x =a y x = b.

    La integral definida de una función en un intervalo acotado inferiormente por el punto a y superiormente por b se escribe como:

    Propiedades de la integral definida

    Las integrales definidas poseen un conjunto de propiedades que permiten facilitar extraordinariamente el cálculo de su valor. Tales propiedades se resumen en los siguientes puntos:

    • Toda integral definida restringida a un intervalo constituido por un único punto, denotado por [a, a], es igual a cero.

    • La integral definida en un intervalo [a, b] de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales definidas de cada función en dicho intervalo.

    • La integral definida del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral definida de la función para el intervalo dado.

    • Cuando una función f(x)es mayor que cero en un intervalo, su integral definida es positiva. Si es menor que cero, la integral es negativa.

    • Al invertir los extremos del intervalo de una integral, ésta cambia de signo.

    • Dado un punto c perteneciente al intervalo [a, b], la integral definida puede descomponerse en «trozos» del modo siguiente:

    • Si en un intervalo [a, b] se aplican dos funciones f(x) y g(x), de tal manera que f(x) < g(x), entonces se verifica que:

    Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

    Regla de Barrow

    Al concepto de integral definida es posible asociarle la idea de una función integral. Dicha función integral, aplicada sobre una variable independiente x, podría definirse de la manera siguiente:

    De este modo, los valores de la función F(x)se obtienen calculando la integral definida de f(x) para los distintos valores de la variable x en el dominio de definición de dicha función. En estas condiciones, es posible determinar que cuando la función f(x) es continua, se cumple que puede obtenerse como la derivada de F(x). Expresado en lenguaje matemático, cuando f es continua:

    F’(x) = f(x)

    Esta expresión recibe el nombre de teorema fundamental del cálculo integral y permite definir una regla para el cálculo de las integrales definidas a partir del conocimiento de la primitiva de la función f(x). Tal es la regla de Barrow, que debe su nombre a Isaac Barrow, teólogo y profesor inglés del siglo XVII, y que se conoce también como segundo teorema fundamental del cálculo integral.

    La regla de Barrow establece que si F(x) es una primitiva de la función f(x), continua en el intervalo [a, b], entonces se verifica que:

    Es decir, el valor de la integral definida de una función continua en un intervalo se obtiene calculando su primitiva particularizada para x = b y restándole el valor de la primitiva cuando x = a. Sea, por ejemplo, la función f(x) = 3x2 definida en el intervalo [2, 3]. Como esta función es continua en el intervalo, su integral definida puede calcularse por medio de la regla de Barrow.

    Así pues, primero se determina el valor de su primitiva:

    Aplicando la regla de Barrow:

    El valor obtenido es el área bajo la curva de la función f(x) = 3x2, delimitada por el eje horizontal y las rectas verticales x = 3 y x = 2. Es posible también aplicar los planteamientos aplicados en el curso del capítulo para el cálculo del área comprendida entre dos curvas definidas por sendas funciones en una misma variable f(x) y g(x). El cálculo de dicha área se obtiene por medio de una fórmula sencilla e inmediata:

    Cálculo del área delimitada por dos curvas en un intervalo, que puede obtenerse aplicando el concepto de integrales definidas.