Principios de hidrostática

    Narra una antigua leyenda que, en el siglo III a.C., el tirano de Siracusa, Herón II, reclamó un día del sabio Arquímedes que determinara si una corona que había encargado el soberano era realmente de oro puro, como pretendía el orfebre. Herón añadió como condición que la corona no sufriera daño alguno en la prueba. Ante el desafío, Arquímedes puso a funcionar su cerebro y afiló el ingenio para encontrar una solución.

    Al fin, continúa el relato, le iluminaron los dioses mientras se hallaba dentro de la bañera. Reflexionando sobre el volumen de agua que desplazaba su propio cuerpo, ideó un procedimiento tan astuto como infalible: pensó que este peso de líquido desplazado debía ser igual al de la parte sumergida de su cuerpo. Así, si introducía la corona en un balde de agua podría medir exactamente su masa sabiendo la cantidad del fluido desplazado. Sólo habría que encontrar una pieza de oro puro que tuviera exactamente el mismo peso que la corona: tal pieza habría de desplazar exactamente el mismo volumen de agua que la joya. Si los volúmenes desalojados de líquido no eran iguales, la corona sería falsa.

    Espoleado por un descubrimiento tan genial como repentino, prosigue la leyenda, Arquímedes saltó fuera de la tina y corrió desnudo hacia palacio mientras gritaba: «¡Eureka!». La prueba demostró que la corona tenía una parte impura añadida al oro y que el orfebre, por tanto, había mentido sobre su composición. Casi nadie duda de la autenticidad del ingenioso razonamiento usado por Arquímedes para desenmascarar al falsario. No en vano, ha servido como una de las bases de la ciencia de la hidrostática. Sin embargo, la escena de su impetuosa salida del baño más parece un adorno literario, tan falso como la corona que Arquímedes había intentado autenticar.

    ¿Qué es un fluido?

    Uno de los objetos de investigación de la física es el estudio de los fluidos, es decir, de las sustancias en estado líquido o gaseoso. Estas sustancias se caracterizan por fluir con escasa resistencia y por su facilidad para adoptar la forma del recipiente que las contiene.

    No obstante, existen algunas diferencias básicas entre líquidos y gases. Los primeros no modifican su volumen cuando se someten a fuerzas externas; por ello se dice que son incompresibles. En cambio, el volumen de los gases se modifica por la acción de estas fuerzas. Asimismo, la densidad de los líquidos es constante, a diferencia de la de los gases, que muestra una gran variabilidad ante la existencia de presiones externas.

    De este modo, un líquido ideal se distingue por dos propiedades o cualidades fundamentales:

    • Es incompresible, ya que su volumen no varía cuando se ejerce sobre él una fuerza externa.

    • Es fluido, por lo cual se adapta a la forma del recipiente que lo contiene. No obstante, los líquidos presentan distintos grados de fluidez, que dependen de su naturaleza y de condiciones externas como la temperatura y la presión. La propiedad contraria a la fluidez se denomina viscosidad.

    • El comportamiento de las sustancias líquidas ha sido fuente de interés para la ciencia. La disciplina de la física que explora el comportamiento de los líquidos en reposo se denomina hidrostática, mientras que el estudio del movimiento de los líquidos corresponde a la hidrodinámica. Ambas disciplinas se engloban dentro de otra de mayor rango conocida como mecánica de fluidos, que incluye también los aspectos relativos a los gases.

    En este apartado se van a analizar las magnitudes fundamentales que permiten describir el comportamiento físico de las sustancias líquidas y las propiedades básicas que las distinguen.

    Magnitudes básicas de un fluido

    En el estudio de los líquidos, y también de los gases, se manejan dos magnitudes fundamentales: la densidad y la presión. La primera, que es una de las propiedades características de los cuerpos, se define como la masa que contiene por unidad de volumen. Matemáticamente, la densidad se expresa como el cociente entre la masa m y el volumen V:

    De este modo, un cuerpo más denso que otro ocupará menor volumen para una misma masa, será más «compacto». Análogamente, a igualdad de volumen entre dos cuerpos, el más denso pesará más. En el Sistema Internacional de unidades, la densidad se expresa en kilogramos por metro cúbico (kg/m3), aunque también es corriente indicarla en gramos por centímetro cúbico (g/cm3).

    El aceite, como la gasolina, es menos denso que el agua y no se mezcla con ella. Por lo tanto, flota en su superficie.

    En los estudios de mecánica de fluidos es corriente recurrir al empleo de un concepto equivalente al anterior denominado densidad relativa. Esta magnitud se define como el cociente entre la densidad absoluta del líquido en cuestión y la densidad del agua, que se toma como patrón. Es decir:

    De la expresión anterior se deduce que la densidad relativa es una magnitud adimensional que expresa cuántas veces es un líquido más o menos denso que el agua. Algunas densidades de líquidos comunes se hallan consignadas en la tabla 1.

    La segunda magnitud fundamental de un fluido es la presión P, definida como la fuerza ejercida por el fluido por unidad de superficie. Matemáticamente:

    siendo F la fuerza y S la superficie. En el Sistema Internacional, la presión se mide en pascales (símbolo Pa), una unidad equivalente a la presión de un newton por metro cuadrado (N/m2).

    Tabla 1. Tabla de densidades de líquidos comunes.

    De especial interés en el estudio de los fluidos, y emparentada con la presión, es la magnitud conocida como tensión superficial. Esta magnitud, denotada comúnmente por , se define como la fuerza ejercida en la superficie de un líquido por unidad de longitud, es decir:

    La existencia de una tensión superficial en la superficie que separa a un líquido de un gas es una propiedad interesante con efectos fácilmente observables. Por ejemplo, en las aguas quietas, ciertos insectos aprovechan esta propiedad para apoyarse en la superficie sin hundirse. Asimismo, en líquidos viscosos es necesario ejercer una cierta fuerza para vencer la resistencia de la capa o película superficial antes de penetrar en ellos.

    Ciertos insectos, por su escaso peso, pueden andar sobre la superficie del agua sin hundirse. Ello se debe al efecto de la tensión superficial.

    Estos dos fenómenos se deben a la tensión superficial del líquido. En el interior del mismo, las fuerzas de cohesión entre sus moléculas se encuentran compensadas por su acción en todas direcciones. Sin embargo, en la superficie existe sólo una atracción desde el interior del líquido, con lo que las fuerzas internas no se hallan equilibradas. En consecuencia, existe una fuerza resultante no nula que atrae a las partículas de la superficie hacia el interior del líquido y provoca, como efecto, la formación de una membrana o película superficial.

    Principios elementales de la hidrostática

    En el apartado anterior se ha definido la presión como la fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido. En un líquido en reposo, cabe hablar de una presión «hidrostática» que se percibe como la fuerza que aplica el líquido sobre las paredes del recipiente que lo contiene. Las fuerzas que se ejercen por el líquido son perpendiculares a las paredes del recipiente, y el valor número de la presión hidrostática en un punto interior del líquido puede escribirse como:

    P = · g · h

    donde es la densidad, g la aceleración de la gravedad (9,8 m/s2) y h la profundidad del punto dentro del líquido con respecto a su superficie libre.

    A partir de esta expresión es posible enunciar el denominado principio fundamental de la hidrostática. Tomamos dos puntos del líquido, 1 y 2, cuyas presiones hidrostáticas son, respectivamente, P1 y P2. Al ser aplicada la ecuación precedente, la diferencia de presión entre ambas vendrá dada por:

    P2 – P1 = · g · (h2– h1)

    Es decir, la diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en equilibrio es igual al producto de la densidad del líquido por la aceleración de la gravedad y por la diferencia de profundidad o nivel entre ambos puntos. Cuando uno de los puntos se encuentra en la superficie del líquido, su presión es igual a la atmosférica externa y la ecuación se transforma en:

    P = Patm + · g · h

    Aplicaciones del principio de la hidrostática a los líquidos en equilibrio

    El estudio del comportamiento de los líquidos en equilibrio forma parte de una de las áreas de investigación más antiguas de la ciencia. Entre las observaciones más sobresalientes, cabe citar la que afirma que un líquido homogéneo contenido en un recipiente en reposo ocupa un volumen cuya superficie es horizontal y plana, como un resultado de la atracción gravitatoria sobre las moléculas del líquido. En cambio, cuando en el recipiente se incluyen varios líquidos no miscibles, estos líquidos se ordenan en capas de densidad creciente hacia el fondo, de manera que la superficie de separación entre ambos líquidos es también horizontal.

    Especial interés merece el caso de los llamados vasos comunicantes, definidos como varios recipientes que están unidos entre sí mediante conductos por su base, de tal forma que hacen posible el flujo de líquido de unos a otros. Sea cual sea la anchura de cada uno de estos recipientes, la superficie del líquido común que contienen alcanza siempre un mismo nivel en todos ellos (v. figura 3).

    Otro modelo interesante de la hidrostática es el asociado a la introducción en un tubo en forma de U de dos líquidos no miscibles. Para que se satisfaga el principio fundamental de la hidrostática, es preciso que en el punto de unión entre ambos líquidos la relación entre sus densidades ( y ) y profundidades (h y h') respectivas venga dada por la expresión:

    · h = · h'

    Principio de Arquímedes

    En su forma clásica, el principio de Arquímedes se enuncia del modo siguiente:

    • «Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del fluido desalojado».

    Según las crónicas antiguas, Arquímedes descubrió este principio al observar que al introducirse en la bañera hacía ascender el nivel del agua contenida en la misma. Al mismo tiempo, percibía que él mismo parecía pesar menos dentro que fuera del agua. Su reflexión le llevó a concluir que ese peso de menos que sentía tenía que ser igual al peso del agua que su cuerpo había desplazado al introducirse en la tina.

    En los vasos comunicantes, la altura de la superficie libre del líquido alcanza el mismo nivel en todos los recipientes.

    Para comprender la validez de la intuición de Arquímedes y el significado físico del principio por él enunciado puede imaginarse un cuerpo sumergido en un líquido y que queda en equilibrio entre dos aguas, es decir, se hunde hasta un cierto nivel sin llegar al fondo del recipiente. En esta situación, actuarán sobre él dos fuerzas compensadas: una ascendente, que es el empuje o flotación debido al líquido, y una descendente, que es el peso. Dicho cuerpo se hundirá en el agua hasta el punto exacto en que ambas fuerzas se compensen.

    Esta ley, consecuencia directa del principio fundamental de la hidrostática, es válida para cualquier fluido, ya sea líquido o gas. Permite deducir a priori si un cuerpo flotará o no en el líquido, dependiendo de su densidad relativa con respecto a éste. Como caso particular, los cuerpos de baja densidad se hundirán levemente sobre la superficie hasta que el peso total del cuerpo se iguale con el de la masa de líquido desplazada, sin llegar a sumergirse por entero.

    Por el principio de Pascal, la presión se transmite en los fluidos en equilibrio de manera uniforme, lo que permite fabricar máquinas para multiplicar el efecto de las fuerzas aplicadas.

    El principio de Arquímedes posee aplicaciones interesantes en diversos ámbitos de la ciencia y la tecnología. Sirve, por ejemplo, para medir las densidades de los cuerpos sólidos (en ello se inspiró, indirectamente, el sabio para certificar el fraude la corona de supuesto oro), para fabricar dispositivos de medida sencillos y, en ingeniería naval, para determinar las líneas de flotación y seguridad de carga de las embarcaciones.

    Ley de Pascal

    Una interesante consecuencia de las leyes de la hidrostática es el principio establecido por el francés Blaise Pascal en el siglo XVII. Este principio, de sencillo enunciado teórico, ha encontrado aplicaciones muy prácticas y comunes en dispositivos como el elevador hidráulico, la prensa hidráulica y los sistemas de frenos de los vehículos, entre otras muchas.

    La prensa hidráulica es un ejemplo típico de aplicación del principio de Pascal.

    El principio o ley de Pascal afirma que la presión aplicada en un punto de un fluido, ya sea éste un líquido o un gas, contenido en un recipiente se transmite por igual a todas y cada una de las partes del fluido. Al referirse a presiones, este enunciado encubre la base de una máquina enormemente eficaz.

    Supongamos un recipiente cerrado en sus dos extremos de superficie libre por sendos émbolos (v. figura 4). El primer émbolo, a la izquierda, tiene una superficie pequeña s en comparación con el de la derecha (superficie S). Si sobre el primer émbolo se aplica una determinada fuerza f, se comunicará al líquido una presión asociada p definida como el cociente entre f y s.

    La presión transmitida al segundo émbolo, P, habrá de ser igual a la primera. Ahora bien, este segundo émbolo tiene una superficie muy superior (S > s). Por ello, la fuerza F obtenida será mayor a f en la misma proporción que S con respecto a s. De este modo, merced al principio de Pascal se consigue multiplicar la fuerza ejercida en el primer émbolo.

    La aplicación de la ley de Pascal permite, por ejemplo, que un solo hombre pueda alzar un vehículo pesado dispuesto sobre una plataforma con la fuerza aplicada sobre una simple manivela: una fuerza pequeña ejercida sobre una superficie reducida se multiplica un número considerable de veces cuando, transmitida por la presión de un líquido (a menudo, aceite), se hace llegar hasta una superficie considerablemente mayor. Los dispositivos de esta clase se denominan prensas y elevadores hidráulicos y son comunes, por ejemplo, en los talleres de diagnóstico y reparación de automóviles (v. figura 5).