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Algoritmo de Karmakar

Ideado en su forma arquetípica por el matemático indio Narendra Karmakar, el algoritmo que lleva su nombre ofrece un procedimiento para la resolución de problemas de programación lineal. Cuando en estos problemas se maneja multitud de variables y condiciones de restricción, es común recurrir al auxilio de computadoras para su resolución. El método simplex, ideado por el estadounidense George Dantzig, supuso la aparición de un algoritmo que sirvió de base a un programa informático, gracias al cual se redujo de forma considerable el tiempo de resolución de los problemas. No obstante sus ventajas, el método simplex es de naturaleza exponencial, lo que implica que el tiempo de trabajo que precisa crece exponencialmente, según el tamaño del problema que se ha de resolver. Por ello, muchos matemáticos acometieron la tarea de diseñar algoritmos de tipo polinómico que manejarían un crecimiento del tiempo de resolución potencial, mucho más asequible que el exponencial. Un primer intento en...

Aplicaciones y funciones

Aplicaciones y funciones. El carácter abstracto y complejo del razonamiento matemático ha llevado a menudo a plantear argumentaciones aparentemente contradictorias que alimentan un extenso repertorio de curiosidades matemáticas. Uno de ellos es la denominada paradoja de Galileo. En Dos nuevas ciencias, trabajo postrero en la vida de este sabio del siglo XVII, se plantea una afirmación paradójica dentro del conjunto de los números enteros. Como ya se sabe, algunos enteros son cuadrados perfectos, como 4, 9, 16, 25, 36, etc. Ello significaría que el conjunto de los números cuadrados es menor en número de elementos que el de los números enteros, que los incluye a ellos pero también a los no cuadrados. Sin embargo, por cada número cuadrado existe un número entero que es su raíz cuadrada (por ejemplo, 4 es cuadrado de 2, 9 de 3, etc.), y por cada entero hay exactamente un cuadrado. Ello significaría que no debería haber mayor número de unos que de otros, en una asociación entre...

Argumentos de Venn

Muy a menudo, las proposiciones pueden expresarse mediante diagramas de Venn, lo que las hace muy adecuadas para ver gráficamente la validez de los razonamientos. Por ejemplo, si se consideran los conjuntos de los cuadriláteros, los rectángulos y los cuadrados, teniendo en cuenta las relaciones de inclusión existentes entre ellos, podría hacerse la siguiente representación:. Cuadriláteros. Rectángulos. Cuadrados. Naturalmente, los diagramas de Venn pueden ser empleados para conjuntos disjuntos, es decir, sin elementos comunes. Por ejemplo:. Cuadriláteros. Círculos. Los diagramas de Venn tienen una importante aplicación en los silogismos. Un silogismo es un razonamiento que se compone de dos premisas (mayor y menor) y de una conclusión. Por ejemplo, la argumentación:. Todos los hombres son mortales Premisa mayor. Juan es hombre Premisa menor. Juan es mortal Conclusión. Se ha hecho a través de un silogismo. En su lógica, Aristótelesclasificaba a las premisas en los...

Cambio de sistemas referenciales

En el plano, e igualmente, en el espacio, un punto puede estar referido a diferentes sistemas. Si se consideran los cartesianos, sus coordenadas (que son las distancias a los ejes OX y OY) serán diferentes, según la posición que ocupen. X’. Y Y’ P. b b’ a’. O’. O X. a. Por ejemplo, como se ve en la figura, el punto P con respecto al sistema XOY es P(a, b), mientras que, respecto a X’O’Y’ es P(a’, b’). El problema del cambio de sistema de referencia aborda la cuestión de, dadas las coordenadas de un punto en un determinado sistema de referencia, hallar las coordenadas de ese mismo punto con respecto a otro sistema distinto. Evidentemente, si las coordenadas de un punto cambian según el sistema de referencia que se considere, otro tanto sucede con las ecuaciones de las líneas, también distintas, según el sistema de coordenadas a que se refieran. Ello no quiere decir, sin embargo, que sus propiedades varíen con el cambio de sistema. Se considerarán los siguientes casos de...

Cardinal de un conjunto

Recibe el nombre de cardinal de un conjunto el número de elementos del mismo. El cardinal del conjunto A se suele representar por N(A). Así por ejemplo, si:. A = {a, b, c, d} N(A) = 5. Esta definición permite introducir el concepto de conjuntos equipotentes.Dos conjuntos, A y B, se llaman equipotentes (lo que se expresa por la notación ) si se puede establecer entre ellos una correspondencia biyectiva, lo que equivale a decir que tienen igual número de elementos. La idea dada de equipotencia es muy clara cuando se trata de conjuntos finitos, pero no lo es tanto cuando se consideran conjuntos infinitos. Georg Cantor aclaró esta situación afirmando que un conjunto es infinito cuando es equipotente a uno de sus subconjuntos. La validez de este aserto puede comprobarse tomando el conjunto de los números naturales, N, y el subconjunto, P, formado por los naturales pares. Dados dos conjuntos, A y B, si se considera el conjunto intersección de ambos, se verifica que:. Por ejemplo, si...

Ceros y polos funcionales

Se denominan ceros de una función los valores de la variable independiente para los que se anula dicha función. Para hallar los ceros de una función, basta con hacer en ella y = 0 y resolver la ecuación resultante. Análogamente, reciben el nombre de polos de una función los valores finitos de la variable para los que la función se hace infinita. En consecuencia:. Las funciones enteras, también llamadas polinómicas, no tienen polos. En las funciones racionales, los polos serán los valores de la variable que anulen al denominador de dicha función. En las funciones trascendentes, los polos se calculan teniendo en cuenta los valores que pueden tomar éstas. Finalmente, hay que añadir que la existencia de ceros y/o polos no es obligada, ya que:. Una función puede tener ceros y no tener polos. Una función puede tener polos y no presentar ceros. Una función puede tener polos y ceros. Una función puede no tener ni polos ni ceros. Problema 1. Hallar los polos y ceros de la función:....

Circunferencia

La circunferencia es una línea cuyos puntos equidistan de uno interior, centro, una magnitud constante, llamada radio. . P(x,y). Por tanto, si se considera una circunferencia de centro C(a, b) y radio r, su ecuación será:. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (1). A veces, la ecuación (1) se da desarrollada, en la forma:. x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 (2). En tal caso, la determinación del centro y el radio es inmediata, teniendo en cuenta que:. abscisa del centro = xc = (3). ordenada del centro = yc = (4). a2 + b2 – r2 = Término independiente (5). En general, para que una ecuación represente una circunferencia, debe suceder que:. Sea de segundo grado en x y en y. Los coeficientes de x2 e y2 deben ser iguales. Debe carecer de término en x · y. Problema 1. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:. x2 + y2 – 6x + 8y = 0. Solución. Aplicando (3), (4) y (5):. xc = 3. Además:. 32 + (-4)2 – r2 = 0 r = 5. Por consiguiente, la ecuación dada representa una...

Cálculo de integrales definidas

Cálculo de integrales definidas. No sería aventurado afirmar que el cálculo de integrales definidas se enmarca en el mismo afán de medición de superficies que inspiró el nacimiento de la geometría en los generosos campos del antiguo Egipto o del Creciente Fértil, en el actual Irak. En aquellos tiempos lejanos, se utilizaron procedimientos para dividir las tierras de cultivo, por medio de aproximaciones a modo de rectángulos, triángulos y otros diseños poligonales que permitían parcelar las propiedades. El encomiado esfuerzo de abstracción de los geómetras griegos, que dieron a esta actividad su condición de ciencia matemática, se vio reflejado, como en un espejo de la historia, en el siglo XVII con la invención del cálculo infinitesimal e integral. Nuevamente, el interés primigenio que alentaba algunas de estas investigaciones era encontrar métodos de medición de las áreas subtendidas bajo las líneas y las superficies curvas. Ello condujo al desarrollo de técnicas de integración...

Derivación implícita y derivadas enésimas

Una función puede venir expresada en forma explícita, es decir, como y = f(x). También puede expresarse en forma implícita, con la función y sin despejar, del modo siguiente:. f(x,y) = 0. Para el primer caso existe una tabla de derivadas cuya aplicación permite la derivación de cada función. En el segundo, se podría intentar despejar la función y, para obtener el el caso anterior, pero esta operación no siempre es sencilla. Por ello, es conveniente tener en cuenta la siguiente regla: para derivar una función implícita, se la deriva término a término de acuerdo con las reglas generales de la derivación, pero multiplicando la derivada de los términos que presenten la variable dependiente y por su derivada, y’. El concepto de derivación implícita puede extenderse a la idea de derivadas sucesivas. Problema 1. Hallar la derivada de la función:. x3y + xy2 – 5x + 4y = 0. Solución. Aplicando la regla dada:. 3x2y + x3y’ + y2 + 2xyy’ – 5 + 4y’ = 0. Operando:. x3y’ + 2xyy’ + 4y’ = 5 –...

Derivación logarítmica

Se llama derivada logarítmica de una función a la derivada del logaritmo neperiano de dicha función. Por tanto, si se considera la función y = f(x), su derivada logarítmica es la derivada de la función:. y = L f(x) (1). Se procede ahora a derivar en (1) teniendo en cuenta que y es función de función, ya que en su expresión aparece la función logaritmo neperiano y la función f(x). Teniendo en cuenta la tabla de derivadas:. y’ = f’(x). Luego:. y’ =. De ello se concluye que la derivada logarítmica de una función es igual a la derivada de dicha función dividida por la propia función. Una aplicación notable de la derivada logarítmica es el hallazgo de la derivada de la función potencial exponencial. Una función potencial, por ejemplo y = xn, es la que tiene su variable independiente en la base de la potencia, mientras que una función exponencial, por ejemplo y = ax, es la que presenta la variable en el exponente. Se denomina función potencial exponencial la función que presenta...

Derivada de la función inversa

Una función puede venir expresada en forma explícita, es decir, como y = f(x). También puede expresarse en forma implícita, con la función y sin despejar, del modo siguiente:. f(x,y) = 0. Para el primer caso existe una tabla de derivadas cuya aplicación permite la derivación de cada función. En el segundo, se podría intentar despejar la función y, para obtener el el caso anterior, pero esta operación no siempre es sencilla. Por ello, es conveniente tener en cuenta la siguiente regla: para derivar una función implícita, se la deriva término a término de acuerdo con las reglas generales de la derivación, pero multiplicando la derivada de los términos que presenten la variable dependiente y por su derivada, y’. El concepto de derivación implícita puede extenderse a la idea de derivadas sucesivas. Problema 1. Hallar la derivada de la función:. x3y + xy2 – 5x + 4y = 0. Solución. Aplicando la regla dada:. 3x2y + x3y’ + y2 + 2xyy’ – 5 + 4y’ = 0. Operando:. x3y’ + 2xyy’ + 4y’ = 5 –...

Derivada de una función

Derivada de una función. El reconocimiento de la invención del cálculo diferencial, del que la idea de derivada forma parte sustancial, fue motivo de una enconada disputa entre dos de las mentes más privilegiadas de la Edad Moderna: el inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried von Leibniz. Basándose en los trabajos previos de René Descartes, Christiaan Huygens y otros pensadores y científicos, ambos diseñaron, por separado, los rudimentos de lo que iba a constituirse en una de las herramientas matemáticas más poderosas de la ciencia. La historia ha valorado por igual los méritos de los dos rivales, atribuyendo a ambos la invención del cálculo diferencial y considerando sus desarrollos como mutuamente complementarios. Con ello, vino a hacerse justicia en este aspecto al genio de Leibniz, puesto que el de Newton fue ya reconocido indiscutidamente en su tiempo. En la cima de su fama, Newton era presidente de la Royal Society de Londres cuando la polémica sobre la autoría del cálculo...

Derivada lateral

Dada una función y = f(x) y, considerado un punto de abscisa x = a de su dominio, se dice que es derivable por la izquierda, si existe el límite:. Análogamente, se dice que y = f(x) es derivable por la derecha en el punto de abscisa x = a, perteneciente a su dominio, cuando existe el límite:. Si una función es derivable por la derecha y por la izquierda en el punto x = a y, además:. f’(a-) = f’(a+). entonces, se dice que es derivable en x = a. Debe tenerse en cuenta que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto, lo que significa que:. Si una función es derivable por la derecha en x = a, es continua por la derecha en dicho punto. Si una función es derivable por la izquierda en x = a, es continua por la izquierda en dicho punto. Si una función es derivable en x = a, es derivable por la izquierda y por la derecha en x = a. Los recíprocos, sin embargo, no son ciertos, ya que la continuidad de y = f(x) no garantiza su derivabilidad. Como ejemplo clásico puede...

Desarrollo de Taylor

Un problema de gran importancia en análisis matemático es el de la aproximación local de una función, cuestión de la que vamos a dar una idea. A veces, se precisa conocer la variación de una función en un intervalo, lo que, frecuentemente, no resulta sencillo. Para solventar esta dificultad, se suele recurrir a otra función que sea bien conocida y que se aproxime lo más posible a la considerada en el entorno de un cierto punto. Lógicamente, esa aproximación debe ser notable para no cometer errores importantes. En general, dadas f(x) y g(x), definidas ambas en un intervalo [a, b], se dice que la segunda es una aproximación local de orden n a la primera, en un punto x = c, perteneciente al mencionado intervalo, cuando:. La aproximación local utilizando funciones polinómicas (por otra parte, las más sencillas) puede hacerse mediante los polinomios de Taylor. Si se considera una función f(x), definida en un intervalo (a, b), derivable n – 1 veces en dicho intervalo, y con derivada...

Determinante de Vandermonde

La forma general de un determinante de Vandermonde es la siguiente:. Se trata, pues, de un determinante de orden n cuya primera fila tiene todos sus elementos iguales a 1, mientras que la segunda fila está formada por números reales cualesquiera. A partir de ella, las filas siguientes tienen sus elementos iguales a las potencias segunda, tercera,..., n-1 de los correspondientes elementos de dicha segunda fila. Así, por ejemplo, el determinante de Vandermonde de tercer orden sería:. Para resolverlo, se restará de la segunda fila la primera, previamente multiplicada por a y también de la tercera fila la segunda, multiplicada previamente por a, con lo que se tendrá:. = = =. (b-a)·(c-a)· = (b-a)·(c-a)·(c-b). Nótese que en la igualdad anterior se ha pasado del primer determinante (tercer orden) al siguiente (segundo orden), desarrollando por los elementos de la primera columna. A continuación se ha extraído factor común en los elementos de la segunda fila y, luego, esos factores...

Diagrama lineal

Se llama diagramas lineales a las representaciones de conjuntos mediante rectas o segmentos. Cabe distinguir los siguientes tipos:. De un solo conjunto. Se efectúa mediante una recta en la que, por medio de trazos o puntos, se sitúan los elementos del conjunto. Así, por ejemplo, el conjunto A {a, b, c, d} se representaría por:. a b c d. La representación de las paradas de un autobús que aparece habitualmente en las placas de información es un ejemplo práctico de este tipo de diagramas. De más de un conjunto En este caso, si existen, pueden ponerse de relieve las relaciones de inclusión. Se establece una jerarquía que coloca a los conjuntos tanto más arriba cuanto más extensos sean. Así, si , se dibujaría:. B. A. Otro tanto sucedería si se tratara de tres conjuntos A, B y C, entre los que hubiera la relación de inclusión . En este caso, la representación sería:. C. B. A. Si en la inclusión hay conjuntos de la misma importancia, además de la jerarquización anterior, esa...

Ecuaciones de grado superior

En el transcurso de muchos problemas aparecen ecuaciones de grado superior al tercero que es necesario resolver. Seguidamente se analizarán estos casos, recordando que una ecuación polinómica puede tener:. Raíces enteras. Raíces fraccionarias. Raíces irracionales. Raíces complejas. Se considerarán únicamente los dos primeros casos. Además, también debe recordarse que:. Toda ecuación de grado n, con coeficientes reales, posee n soluciones (reales o complejas). Si una ecuación con coeficientes reales admite la solución compleja a + bi, admite también su conjugada, a – bi. Por otra parte, dada:. a0 xn + a1 xn-1+ a2xn-2+....+an = 0. de sus n soluciones, x1, x2, ..., xn, puede suceder que p de ellas sean iguales. Es decir:. Con lo que se dice que t es una raíz múltiple de orden p. Dependiendo de sus raíces, la ecuación anterior puede escribirse en la forma:. a0 (x – x1). (x – x2).(x – x3)…(x - xn) = 0. Cálculo de raíces enteras. Dada la ecuación polinómica P(x) = 0, la...

Ecuaciones de la recta

Una recta, cuya ecuación es siempre lineal, es decir, de primer grado en x y en y, puede expresarse de diversas formas, que se analizarán a continuación. Forma explícita. En ella, la variable y está despejada. Se escribe como:. y = mx + n. siendo m el coeficiente angular o pendiente y n la ordenada en el origen. Forma implícita. Todos los términos de la ecuación aparecen en el mismo miembro. ax + by + c = 0. Para pasar de esta forma a la anterior, basta con despejar y. Determinada por dos puntos. La recta que pasa por A(x1, y1) y B(x2, y2) es:. y – y1 =. Forma punto-pendiente. La recta viene dada por un punto de la misma, A(x1, y1), y su pendiente, m. y – y1 = m (x – x1). Forma canónica. Siendo a y b los segmentos que la recta determina, respectivamente, sobre los ejes OX y OY, su ecuación puede expresarse como:. Forma normal. También llamada hessiana, es:. x cos w + y sen w – p = 0. p es el llamado perpendículo (segmento de perpendicular trazada desde el origen a la...

Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuaciones exponenciales a aquellas en las que la incógnita figura en el exponente de uno o más términos de la ecuación. Fundamentalmente, existen dos clases de estas ecuaciones:. - Tipo 1: Ecuaciones que son una igualdad entre potencias de la misma base o bien que se pueden reducir a esta situación. - Tipo 2: Convertibles a ecuaciones algebraicas mediante un cambio de variable. Seguidamente se analizará cómo resolver cada uno de estos tipos mediante la ayuda de ejemplos. En las ecuaciones del primer tipo, el método utilizado consiste en aplicar las normas de operaciones con potencias a fin de llegar a una expresión del tipo:. P(x) = Q(x). siendo P(x) y Q(x) expresiones algebraicas de la incógnita, x, con lo que se logrará una ecuación, también algebraica, que, resuelta, dará la solución del problema. Ejemplo. Resolver la ecuación:. a(b – x)·x = ax. Si dos potencias son iguales y sus bases son las mismas, sus exponentes deben ser iguales, luego:. (b – x)·x = x. ...

Ecuación combinatoria

Se llama ecuaciones combinatorias a aquellas en las que la incógnita aparece formando parte de uno o más números combinatorios o afectada por el símbolo de variaciones, permutaciones o combinaciones. Por la naturaleza del problema, en estas ecuaciones sólo son válidas las soluciones naturales, es decir, las enteras y positivas. La técnica para resolverlas consiste en desarrollar los símbolos combinatorios que aparezcan, par de convertir la ecuación dada en otra algebraica. Esta ecuación algebraica se resolverá por los métodos habituales. En este tipo de problemas es conveniente recordar que:. n! = n · (n – 1)!. O bien:. n! = n · (n –1) · (n-2)!. Es decir, el factorial de un número puede escribirse tomándose los factores que se desee y multiplicando dichos factores por el factorial del factor siguiente al último tomado. Problema 1. Calcular m para que:. Vm,2 + V(m-2),2 + V(m-4),2 = 98. Solución. Aplicando la fórmula del cálculo de variaciones:. m. (m – 1) + (m – 2) · (m –...